Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (стр. 2 из 4)

H' (x₀)=G' (y₀)F' (x₀) (4)

Действительно, в силу сделанных предположений

А(ч₀ +о) = А(ч₀) + Аэ (ч₀) о +о₁ (о ) и

G(у_о + з) = G(у_о) + G' (у_о) з + о₂ (з).

НоF'(x₀) иG'(y_o) —ограниченные линейные операторы. Поэтому

H(х₀ + о) = G(у_о + F' (x₀) о + о₁о ) = G(у_о) + G' (у₀) (F' (х₀) о + +о₁о)) +

+о₂(F' (x₀) о + о₁ (о )) = G(у₀) + G' (уо) F' (х₀) о + о₃ (о).

Если F, Gи Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть Fи G— два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если Fи Gдифференцируемы в точке х₀, то и отображения F+ Gи aF(а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем

(F+ G)'(х₀) = F'(х₀) + G'(х₀) (5)

(aF)'(x₀) = aF'(x₀).(6)

Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что

(F+G)(x₀ + h) = F(x₀ + h) + G(x₀ + h) = F(х₀) + G(х₀) + F' (х₀) h+

+G' (х₀) h+ o₁ (h) и

aF (x₀+ h) = aF (x₀) + aF' (x₀) h + o₂ (h),

откуда следуют равенства (5) и (6).

Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Пусть снова Fесть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения Fв точке х (при приращении h)называется предел

DF(x,h)=

_t=0= ,

где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h)называют первой вариацией отображения Fв точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h)может и не быть линеен по h.Если же такая линейность имеет место, т. е. если

DF(х, h) = F'_c(х) h,

гдеF'_c(х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.

Формула конечных приращений

Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х₀, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, Fесть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'_cв каждой точке отрезка [х₀, x]. Положив Дх = х — х_о и взяв произвольный функционал

У*, рассмотрим числовую функцию

f(t) =

(F(x₀+tДх)),

определенную при

.Эта функция дифференцируема по t.Действительно, в выражении

можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала

. В результате получаем

F'(t) =

(F'_c(x₀+tДx) Дx)

Применив к функции fна отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим

f(l) = f(0) + f'(и), где 0< и <1,

(F(x)-F(x₀))= (F'_c(x₀+ и Дx) Дx)(7)

Это равенство имеет место для любого функционала

У* (величина и зависит, разумеется, от ). Из (7) получаем

|

(F(x)-F(x₀))| ||F'_c(x₀+ и Дx)|| || Дx|| (8)

Выберем теперь ненулевой функционал

так, что

(F(х) - F(х₀)) = || || ||F(х) -F(хо) ||

(такой функционал

существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем

||(F(х) - F(x)||

||F'_c(x₀+ и Дx)|| ||Дx|| (Дx=x-x₀) (9)

Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению

х —Ю А (х) — Аэс (х_о) Дч

получим следующее неравенство:

||F(x-F(х_о)-F'c(х_о) Дx||

||F'_c(x_o+иДx) -F'_c(x₀)||

|| Дx|| (10)

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции

f(x) = f(x_1,…,x_n)

при n

2 из существования производной

при любом фиксированном h= (f_1,...,f_n) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x)в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных

(11)

Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку

Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h₂=h₁², то

Однако если отображение Fимеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем

А(ч + ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и

Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения Fследует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'_c(х) отображения Fсуществует в некоторой окрестности Uточки х₀ и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x₀, то в точке x₀ сильная производная F'(x₀) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:

|| F'_c(x_o+ h)-F'_c(x_o) ||

е

Применив к отображению Fформулу (10), получим:

||F(x₀ + h)-F(х_о) - F'_c(х_о) h||

||F'_c(x_o+ иh)- F'_c(x_o)||

||h||

е||h||

Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F'(x_о), так и ее совпадение со слабой производной.

Дифференцируемые функционалы

Мы ввели дифференциал отображения F,действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У — числовая прямая, то F— принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала Fв точке х₀ есть линейный функционал (зависящий от х₀), т. е. элемент пространства X*.