Вивчення функцій рядів Фур'є (стр. 2 из 6)

Поки цього не зроблено, ми маємо право лише формально розглядати ряд Фур'є даної функції, але не можемо про нього нічого затверджувати, крім того, що він "породжений" функцією f(x). Цей зв'язок звичайно позначають так:

уникаючи знака рівності.

2. Ортогональні системи функцій

Дві функції

й певні на проміжку називаються ортогональними на цьому проміжку, якщо інтеграл від їхнього добутку дорівнює нулю:

Розглянемо систему функцій

, певних у проміжку [a, b] і безперервних або кусочно-безперервних. Якщо всі функції даної системи попарно ортогональні, тобто

те неї називають ортогональною системою функцій. При цьому завжди будемо думати, що

Якщо

, то система називається нормальної. Якщо ж ця умова не виконується, то можна перейти до системи , що уже свідомо буде нормальною.

Найважливішим прикладом ортогональної системи функцій саме і є тригонометрична система

(10)

у проміжку

, що ми розглядали раніше. Її ортогональність треба зі співвідношень (5), (7), (8). Однак вона не буде нормальної через (9). Множачи тригонометричні функції (10) на належні множники, легко одержати нормальну систему:

(10*)

Нехай у проміжку

дана яка-небудь ортогональна система функцій . Задамося метою розкласти певну у функцію в "ряд по функціях " виду:

(11)

Для визначення коефіцієнтів даного розкладання надійдемо так само, як ми це зробили в попередньому параграфі, а саме помножимо обидві частини рівності на

й інтегруємо його по членне:

У силу ортогональності системи, всі інтеграли праворуч, крім одного, будуть дорівнюють нулю, і легко виходить:

(m=0, 1, 2, …) (12)

Ряд (11) з коефіцієнтами, складеними по формулах (12), називається узагальненим рядом Фур'є даної функції, а самі коефіцієнти-її узагальненими коефіцієнтами Фур'є щодо системи

. У випадки нормальної системи функцій коефіцієнти будуть визначатися в такий спосіб:

У даному випадки всі зауваження зроблені в попередньому параграфі необхідно повторити. Узагальнений ряд Фур'є, побудований для функції

, пов'язаний з нею лише формально й у загальному випадку цей зв'язок позначають у такий спосіб:

Збіжність цього ряду, як і у випадку тригонометричного ряду, підлягає ще дослідженню.

3. Інтеграл Дирихле Принцип локалізації

Нехай

буде безперервна або кусочно-безперервна функція з періодом . Обчислимо постійні (її коефіцієнти Фур'є):

і по них складемо ряд Фур'є нашої функції

Як бачимо, тут коефіцієнт

ми визначили по загальній формулі для при , але зате вільний член ряду запишемо у вигляді .

Якщо функція F(x) кусочно-безперервна в будь-якому кінцевому проміжку й до того ж має період

, то величина інтеграла

по колишньому проміжку довжини

не залежить від .

Дійсно, маємо

Якщо в останньому інтеграла зробити підстановку

, то він доведеться до інтеграла

і лише знаком буде відрізнятися від першого інтеграла. Таким чином, розглянутий інтеграл виявляється рівним інтегралу

уже не утримуючому

.

Для того щоб досліджувати поводження ряду в якій-небудь певній крапці

, складемо зручне вираження для його часткової суми

Підставимо замість

і їхні інтегральні вираження й підведемо постійні числа під знак інтеграла:

Легко перевірити тотожність

Скористаємося цією тотожністю для перетворення вираження, остаточно одержимо

(13)

Цей інтеграл називають інтегралом Дирихле, хоча у Фур'є він зустрічається набагато раніше.

Тому що ми маємо справу з функцією від u періоду

, то проміжок інтегрування по зробленому вище зауваженню можна замінити, наприклад, проміжком

Підстановкою

перетворимо цей інтеграл до виду

Потім, розбиваючи інтеграл на два:

і приводячи другий інтеграл шляхом заміни знака змінної теж до проміжку , прийдемо до такого остаточного вираження для часткової суми ряду Фур'є:

(14)

Таким чином, справа зводиться до дослідження поводження саме цього інтеграла, що містить параметр n.

Для подальшого викладу матеріалу нам буде потрібно одна лема, що належить Риману, що ми залишимо без доказу.

Якщо функція

безперервна або кусочно-безперервна в деякому кінцевому проміжку , то