Вивчення систем з постійною парною частиною (стр. 3 из 5)

задовольняють деякій системі диференціальних рівнянь. Перш, ніж виписати цю систему, помітимо:

(9)

тому що

рішення системи (8). Заміняючи в тотожності (9)

на й з огляду на, що похідна парної функції – функція непарна, а похідна непарної функції – функція парна, одержуємо тотожність

(10)

З тотожностей (9) і (10) знайдемо похідні:

У такий спосіб вектор-функція

(11)

задовольняє наступній системі диференціальних рівнянь порядку

:

(12)

Систему (12) будемо називати системою пар-непара, що відповідає системі (8). рішення системи чіт-непара, як треба з умови а), однозначно визначається своїми початковими умовами.

4. Побудова прикладів систем, парна частина загального рішення яких постійна

Приклад

Знайдемо рішення: будемо використовувати метод виключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього

:

тепер диференціюємо його

Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Зробимо перетворення й приведемо подібні

У такий спосіб:

Зробимо перевірку, для цього у вихідну систему підставимо отримане рішення:

Одержали вірні рівності. Значить було знайдено правильне рішення вихідної системи.

Парна частина загального рішення:

Приклад

Знайдемо рішення: будемо використовувати метод виключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього

:

тепер диференціюємо його

Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Зробимо перетворення й приведемо подібні

У такий спосіб:

Зробимо перевірку:

Парна частина загального рішення

Приклад

Знайдемо рішення: будемо використовувати метод виключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього

:

тепер диференціюємо його

Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Одержали два рішення

й .

1)

;

2)

;

Зробимо перевірку для

:

Одержали вірні рівності. Значить було знайдено правильне рішення вихідної системи.

Зробимо перевірку для

:

Звідси видно, що

не є рішенням для вихідної системи.

У такий спосіб:

Парна частина загального рішення

З даних прикладів можемо помітити, що рішення систем записується у вигляді:

де

й – непарні функції, а парна частина представлена константою.

;

;

(13)

Системи виду (13) будуть мати сімейства рішень із постійною парною частиною. У цьому легко переконається, проробивши обчислення, аналогічні попереднім прикладам.

5. Прості й найпростіші системи

Лема 9 Для всякої безупинно диференцюємої функції

для якої виконані тотожності (4), мають місце співвідношення

Теорема 10 Для всякої двічі безупинно диференцюємої функції

певної в симетричній області , що містить гіперплощина для якої виконані тотожності (4), існує диференціальна система c безупинно диференцюємої правою частиною, що відбиває функція якої збігається с.