Інтегральні перетворення Лапласа (стр. 2 из 3)

Як і у прикладі 6, знаходимо для функції

Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.

(3.1)

(3.2)

4. Обернене перетворення Лапласа

Теорема 4.1(основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:

(4.1)

Доведення

Розглянемо функцію

. Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. РозглядаючиF[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.

Після множення останньої рівності на

отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ■

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].

Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>aщо задовольняє умовам:

1) При будь-якому

існує інтеграл:

2) Для

- дуги кола радіуса R з центром в точці (

,0)

, при

Тоді,

- це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ( )

Доведення

Розглянемо прямокутний контур

(мал..4.1)

За теоремою Коши інтеграл Г[σ1, σ2, р] по контуру J1[σ1, σ2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[σ1, σ2, р]при р→∞. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р→∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору

.

Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка

Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по

збігається.

Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл

по замкненому контуру в півплощині , що складається з дуги кола радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши :

В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R→∞. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій

, дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q( ) співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при

■

Прививеденні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром

, так як

при R→∞

Лема Жордана. Нехай t>0 і

- півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція задовольняє умовам:

функція неперервна при , ,

Тоді

при R→∞

Доведення

Зробимо заміну змінної інтегрування

z=R

.

Тоді справедлива оцінка інтеграла

Як відомо, при

. Продовжимо оцінку інтеграла

При R→∞. Лему доведено■

Задача Знайти перетворення Лапласа функції

(5.1)

Введена гамма-функція

Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо

Нехай далі

і . Для визначеності будемо вважати , (випадок розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t – додатне число.

Далі маємо:

(5.2)

де

- відрізок променя . Побудуємо замкнений контур (мал. 5.1). За теоремою Коши:

Оцінимо інтеграл по дузі

і кола радіуса R

при R→∞.

Перейдемо до границі при R→∞,

→0 в рівності (5.3), отримуємо

Звідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).

5. Приклади розв’язання базових задач

Зауваження. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t,що задовольняє умовам:

1°.f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалівісі t(локально інтегрована).

2°.Для усіх від’ємних t

3°. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі

і , що для усіх t