Экстремальная задача на индексационных классах (стр. 3 из 6)

для

, j³1.

Согласно теореме 1, для любого

найдется последовательность такая, что .

Существует j₁, такое, что

, где r - какая-либо метрика в Rⁿ, и

, .

Выберем j₂ так, чтобы

и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность

такую, что и

(5)

Рассмотрим произвольные

и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция

такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности

следует утверждение теоремы 2.

Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W^(k)(t)>0 для tÎ[a, b] и

; c₁, …, c_n – вещественные константы; xÎ[a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве

ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов Â_o - всех ФР на [a, b] и В_L – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию

, -¥<x<y<¥, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Â_o, B_L, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k³1,AÌÂ, sÎÂ): I_k⁺ (I_k^-) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k⁺ (k^-);

; - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть

, . Тогда:

1.

,

2.

,

3.

,

4.

.

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого

существует и единственная ФР .

2. Если

, то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок Þ обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что , , , для aÎ(0,1) и для bÎ(0,1).

Пусть

и , где , xÎ[a, b].

Функция Á_s непрерывна слева на [a, b] и Á_s(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Á_s(x) не убывает по x.

Далее, из s_kÞs при k®¥ следует

Á ÞÁ_s. Следовательно, семейства распределений {Á } и {Á } непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B₀(f)<…<B_m(f) (под X<Y (X, YÌR¹) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)^jf(x)>0 (или (-1)^j+1f(x)>0 при xÎB_j(f),

и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения Á

(Á ) и для любого Á_m, , функция Á_m - Á

(Á_m - Á ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция Á_m - Á

имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x₀<x₁<…<x_n+3£b такие, что (-1)ⁱ [Á_m

-Á ] > 0, . Кроме того, Á_m(a)=Á (a)=0. Следовательно, существуют точки y₀Î[a, x₀), y₁Î[x₀, x₁), …, y_n+3Î[x_n+2, x_n+3) такие, что функция (-1)ⁱ[m(t) - h_a(t)] возрастает в точке y_i, , что противоречит условию .