Экстремальная задача на индексационных классах (стр. 2 из 6)

Пусть система

образует T₊ - систему на [0, ¥).

Рассмотрим систему функций

, такую, что w_i=u_i для и - T₊ - системы для m³n (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система

образует T₊ - систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть

. Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {f_j}_j³1ÌI_k^- такая, что . Зафиксируем произвольное f_l.

Если f_lÎI_k^-, где k£n+1, то положим f_l^*=f_l.

Пусть k>n+1 и s={

} – (k-1, W) окрестность f_l в I_k^-.

Рассмотрим произвольные

и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для s£k-1. Следовательно, и , что невозможно.

Таким образом, отображение

непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в R^k-1, содержащее .

Пусть

, и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x₁, …, x_k-2. Условие b_k-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим b_k-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>x_k-2.

Имеем

,

где c_lⁱ – i-ая компонента вектора

, и, следовательно,

.

Так как константа К не зависит от f, то m_l>-¥.

Кроме того,

.

Возьмем последовательность

, такую, что

F_k-1(f_lp)>F_k-1(f_lq)=m_l при p<q и

,

Рассмотрим произвольные f_lp и f_lq, где p<q. Так как

, то отношения и невозможны для s£k-2. Отношения и невозможны, так как f_lp, f_lqÎI_k^-. Из леммы 1 получаем .

Так как

, то найдется функция , такая, что F_k-1(f_l^’)=m_l.

Отношение f_l^’ÎI_k^- невозможно, в силу определения числа m_l и принципа инвариативности области. Отношения f_l^’ÎI_m^- для m<k-1 невозможны, так как

. Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию

, такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2.

;

3. Множества I_k⁺ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {f_i}_i³1ÌI_k⁺ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции

;

5. I_k⁺ÌF_U для k³n+1.

Теорема 2. Пусть система

образует T₊-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Определение 6. Систему

непрерывных на [0, ¥) функций назовем T₊¹-системой, если она является T₊-системой, и, кроме того, системы u₁, …, u_l-1, u_l+1, …, u_n также являются T₊-системами для .

Лемма 2. Пусть

- T₊¹-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что

(-1)^n-i F_i(f) ³ (-1)^n-i F_i(g),

.

Тогда отношения

, и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение

и 1£p£n.

Пусть x₁, …, x_p-1 (-¥<x₁<…<x_p-1<¥) – точки перемен знака функции

; x_о=-¥, x_n=¥; . Выберем точки x_n-1<x_n-2<…<x_p<x_p-1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где h_i=±1. Из условия

следует, что h_n=1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, A_nⁱ – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как

- T₊¹-система на [0, ¥), то detA>0, detA_nⁱ>0, . Следовательно, h_n£0. Получили противоречие.

Случай

, , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть

- T₊¹-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть

. Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и