Экономико-математические методы и модели (стр. 6 из 6)
2.3. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.
2.4. Зависимость уровня потребления
некоторого вида товаров от уровня дохода семьи 
выражается формулой: 
. Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден.ед. Известно, что при =50 =0; =74 =0,8; =326 =2,3.2.5. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10 000 руб.
Указание. Размер вклада 
через t лет определяется по формуле 
, где p-процентная ставка за год, Q0 –первоначальный вклад.
2.6. Затраты на производство продукции
(тыс.руб.) выражаются уравнением 
, где -количество месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением 
. Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?2.7. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y(тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией
. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.Практическое занятие.
Тема. Предельный анализ экономических процессов.
Цель. Рассмотреть применение математических методов для нахождения предельных величин в оптимизационных задачах.
1.Справочный материал.
Функция издержекС(х) определяет затраты, необходимые для производства x единиц данного продукта. Прибыль
, где D(x)- доход от производства x единиц продукта.Средние издержкиA(x) при производстве x единиц продукта есть
.Предельные издержки 
.Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение xединиц продукта, при котором прибыль P(x) оказывается наибольшей.
Задача 1. Функция издержек имеет вид
. На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A(x). В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?Решение. Средние издержки
принимают минимальное значение при x=10. Предельные издержки 
. При установившейся цене 
оптимальное значение P(x) выпуска задаётся условием максимизации прибыли: 
, т.е. 4=M(x), откуда 
. Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.Задача 2. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=14 , если известен вид функции издержек
.Решение. По формуле прибыли получаем,
.Находим производную прибыли по объёму:
, тогда 
хопт=2.Задача 3. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р=10,5 и функция издержек имеет вид 
.
Решение. Находим значение прибыли
.Производная прибыли по объёму имеет вид:
. Тогда 
, 
. 
.2. Задания для самостоятельной работы.
2.1 Определить оптимальное для производителя значение выпуска x0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=8 и известен вид функции издержек
.2.2 Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =40 и известен вид функции издержек
.2.3 При производстве монополией x единиц товара за единицу
. Определить оптимальное для монополии значение выпуска x0(предполагается что весь произведённый товар реализуется), если издержки имеют вид 
.2.4 Функция издержек имеет вид
. Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.2.5 На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причём функция издержек имеет вид
. В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р=37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?Задания для контрольной работы.
Задача 1.
Даны зависимости спроса D(p) и предложения S(p) от цены.
Найдите: 1) равновесную цену и выручку при равновесной цене;
2) цену, при которой выручка максимальна и саму эту
максимальную выручку.
Построить график зависимостей.
Задача 2.
Рассматривается рынок с тремя участниками, у каждого из которых одна и та же функция полезности
. Пусть начальное имущество 1-го, 2-го и 3-го участников заданы векторами, а цены на рынке таковы р=1, р=2, р=3.Проверить: 1) равновесно ли положение;
2) выполняется ли закон Вальраса об избыточном спросе:
P.I(p)=0
Задача 3.
Пусть модель Леонтьева задана матрицей А.
Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления У.
| № варианта | 1 задание | 2 задание | 3 задание |
| 1 | D=1000-10pS=100+10p | (3,2,3), (2,4,6), (6,4,6) |  |
| 2 | D=800-10pS=200+10p | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) |  |
| 3 | D=1000-20pS=70+10p | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) |  |
| 4 | D=400-20pS=70+10p | (4,2,3), (2,5,4), (3,4,7) |  |
| 5 | D=600-8pS=120+8p | (5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5) |  |
| 6 | D=400-5pS=100+5p | (6,2,3), (2,3,6), (3,6,5) |  |
| 7 | D=500-5pS=50+5p | (4,2,3), (4,3,4), (4,4,5) |  |
| 8 | D=200-10pS=35+5p | (4,2,3), (5,3,4), (6,4,2) |  |
| 9 | D=500-10pS=50+5p | (3,2,3), (4,3,4), (3,5,2) |  |
| 10 | D=300-4pS=60+4p | (3,2,3), (2,4,6), (6,4,6) |  |
| 11 | D=600-8pS=120+8p | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | |
| 12 | D=400-5pS=100+5p | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | |
| 13 | D=1000-10pS=100+10p | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | |
| 14 | D=1000-20pS=70+10p | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) |  |
| 15 | D=800-10pS=200+10p | (4,2,3), (2,5,4), (3,4,7) |  |
| 16 | D=400-20pS=70+10p | (4,2,3), (4,3,4), (4,4,5) |  |
| 17 | D=500-5pS=50+5p | (3,2,3), (4,3,4), (3,5,2) |  |
| 18 | D=200-10pS=35+5p | (3,2,3), (2,4,6), (6,4,6) |  |
| 19 | D=300-4pS=60+4p | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | |