Экономико-математические методы и модели (стр. 5 из 6)
б) Прибыль
(тыс.руб.), т.е. 
при 
(ед.).Задача 3. Продолжительность выполнения
(мин.) при повторных операциях связана с числом 
этих операций зависимостью 
. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при 
, а при 
.Решение. Найдём параметры
и 
, учитывая, что 
, 
. Получаем систему: 
решая которую найдём 
, 
.Итак,
при 
, 
(мин.)Задача 4. Объём продукции u, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением
(ед.), 
, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.Решение. Производительность труда выражается производной
(ед./час), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной 
и логарифмической производной 
: 
(ед./ч2), 
(ед./ч).В заданные моменты времени
и 
соответственно имеем: z(t)=112,5 (ед./ч), z’(t)=-20(ед./ч2), Tz(7)=-0,24 (ед./ч).Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z’(t) и Tz(t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.
Задача 5. Опытным путём установлены функции спроса
и предложения 
, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара.Найти: а) равновесную цену, т.е.цену при которой спрос равен предложению;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены;
в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Решение. а) Равновесная цена находится из условия q=s, тогда
, откуда p=2, т.е равновесная цена 2 ден.ед.б) Найдём эластичность по спросу и предложению по формуле (1)
. 
; 
. Для равновесной цены p=2 имеем 
; 
. Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на 5.0,3=1,5%, следовательно, доход возрастёт на 3,5%.
Задача 6. Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией
(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.Решение. Функция средних издержек выражается соотношением
; при x=10средние издержки (на единицу продукции) равны 
(ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной 
; при x=10 предельные издержки составят 
(ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) , составляют 35 ден.ед.Задача 7. Выяснить, чему равны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?
Решение. Пусть полные затраты предприятия y выражаются функцией
, где x – объём выпускаемой продукции. Тогда средние затраты y1на производство единицы продукции 
. Эластичность частного двух функции равна разности их эластичностей, т.е. 
.По условию
, следовательно, 
. Это означает, что с изменением объёма продукции средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е. 
, откуда 
.предельные издержки предприятия определяются производной
. Итак, 
т.е предельные издержки равны средним издержкам(полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).2. Задания для самостоятельной работы.
2.1. Издержки перевозки
двумя видами транспорта выражаются уравнениями: 
и 
, где - расстояния в сотнях километров, - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?2.2. Зная, что изменение объёма производства
с изменением производительности труда происходит по прямой линии, составить её уравнение, если при =3 =185, а при =5 =305. Определить объём производства при =20.