Экономико-математические методы и модели (стр. 4 из 6)

1. Справочный материал.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определённому алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используемые в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтения) – зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек – зависимость издержек производства от объёма продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяют мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Кроме геометрического и механического существует ещё и экономический смысл производной. Во-первых, производная объема произведенной продукции по времени

есть производительность труда в момент . Во-вторых, существует ещё одно понятие, характеризующее экономический смысл производной. Если издержки производства y рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x,

- прирост продукции, - приращение издержек производства, а - среднее приращение издержек производства на единицу продукции, тогда производная равная выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) xи определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё, топливо ит.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и др.предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, то есть изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных ит.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно предельные величины.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции

называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при :

. (1)

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%. Это мера реагирования одной переменной величины на изменение другой.

Отметим свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной xна темп изменения функции

, т.е. .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

, .

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса yотносительно цены x – коэффициент, определяемый по формуле (1) и показывающий приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине)

, то спрос считают эластичным, если - нейтральным, если - неэластичным относительно цены (или дохода).

В практической деятельности часто приходится сталкиваться с такими задачам, которые рационально решать методами математического анализа. Это задачи на нахождение объёма продукции при известном значении прибыли, определении уровня потребления товаров при известном доходе, определение момента времени рентабельности производства, определение размеров вклада при известных начальных вложениях и т.п.

Задача 1. Издержки y (в руб.) на изготовление партии деталей определяются по формуле

, где - объём партии. Для первого варианта технологического процесса . Для второго варианта известно, что (руб.) при (дет.) и (руб.) при (дет.). Провести оценку двух вариантов технологического процесса и найти себестоимость продукции для обоих вариантов при (дет.)

Решение.

Для второго варианта определяем параметры

и из системы уравнений:

откуда и , т.е. .

Точка (х₀,y₀) пересечения двух прямых находится из системы их уравнений:

откуда , .Очевидно, при объёме партии выгоднее второй вариант технологического процесса, при - первый вариант. Себестоимость продукции (руб.) при по первому варианту составляет , а по второму - .

Задача 2. Постоянные издержки

составляют 125 тыс.руб. в месяц, а переменные издержки - 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объём продукции , при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс.руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства

единиц продукции составят: (тыс.руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции , а прибыль (тыс.руб.). Точка безубыточности, в которой , равна (ед.).