Численные методы (стр. 3 из 3)
1. строят формулы для вычисления функции в точках х, близких к середине сетки интерполяции
2. формулы для точек х, близких к хn (упорядочивание узлов интерполяции).
Соответственно получаются формулы Стирлинга , Бесселя, Гаусса, и 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона .
Второй путь: в качестве узла х0 для заданной точки х берут тот узел, который наиболее близок к х, узел х1 выбирают как самый близкий из оставшихся узлов к х.
Т.е последовательность
упорядочившаяся по возрастанию.Для вычисления значения функции в точке х используется 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.
 |
х0 х1 х2 х3 х4 х5 х6
Преобразуем узлы:
х0′=x3;
x1′=x4 ;
x2′=x2 ;
x3′=x5 ;
Разделенные разности
Пусть функция ¦(c),задана на системе неравно отстоящих узлов.
Разделенной разностью 1-го порядка назовем выражение:
Разделенной разностью 2-го порядка:
Разделенной разностью k-го порядка:
(8.6)|x-x0|,
Свойства разделенной разности:
- на сетке равноотстоящих узлов разделенной разности совпадают конечными разностями
- разделенные разности понижают степень многочлена
- разделенные разности n-го порядка постоянны и равны
Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов
Пусть функция ¦(c), задана на сетке не равноотстоящих узлов xi,
.Запишем следующие разделенные разности: 
Выполним такие действия n-1 раз, получим:
Полином Ньютона:Nn(x)=¦0(c)
Rn(x)= ¦(c,c0,…cn)(x-x0)… (x-xn) (8.8)
То¦(c)= Nn(x)+ Rn(x)
Nn(x) ≈ ¦(c)
Rn(x) = ¦(c) - Nn(x)
Если ¦(c) имеет (n+1)-ую производную, то остаточный член может быть преобразован к виду остаточного члена (8.9) полинома Лагранжа.
При вычислении полинома в точке х узлы интерполяции лучше переименовать так, чтобы х0 был самым близким к х, а все остальные узлы тем более удаленные по увеличению расстояния к х.