Широкая критика пифагореизма была дана Аристотелем в "метафизике". Хотя Аристотель - непосредственный ученик Платона, его мировосприятие отличается от платоновского радикальным образом.
Аристотеля можно назвать (384 - 322 гг. до н. э)"величайшим философом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков. Хотя вопросы методологии математического познания не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.
В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражение объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с Платоновым идеализмом, ведь "если в явлениях чувственного мира не находится все математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.
Аристотель, скорее исследователь природы, чем умозрительный философ. Он ценит факты и логику больше, чем любые умозрительные представления. Наука для Аристотеля - не конструирование гармонии, но отыскание причин явлений. Из философии Аристотель удаляет всякую примесь поэзии; его стиль лаконичен, сух и подчинен только мысли. Основной грех пифагорейцев состоит, по Аристотелю, в том, что они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные сущности. Математика по Аристотелю - это не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные от вещей.
Если подвести итог тем результатам, которые предположительно были получены пифагорейцами в V веке н.э., то они выглядят довольно внушительно: создано учение о четном и нечетном, построена теория делимости и пропорциональности чисел, закладываются основы планиметрии, геометрические исследования распространяются на пространственные объекты; поставлена проблема иррациональности; вцелом математические зависимости рассматриваются как относительно самостоятельный объект исследования, а не как рецепты для выполнения тех или иных прикладных вычислений; математика превращается в теоретическую науку со своим предметом, специфическими приемами исследования и обоснования. Но при этом следует иметь в виду, что большинство исторических источников проникнуто "тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время". Не исключено, что многое из того, что считается пифагорейским получено их идеальными противниками. Параллельно с пифагорейцами протекала деятельность и целого ряда других школ: эфейсской, наиболее видный представитель которой Гераклит (около 530-470 гг. до н. э); математическая деятельность милетской школы; Элейской школы в лице Парменида и Зенона (около 450 гг. до н. э); школа греческих материалистов-атомистов, возглавлявшаяся Демокритом (около 460-370 гг. до н. э).
Оценивая математическую деятельность пифагорейцев, следует иметь ввиду так же то, что наиболее значительные результаты были получены не столько путём последовательного проведения религиозно-идеалистических установок их мировоззрения, сколько преодолением их. Ведь если следовать за учителем, рассматривать его изучение как источник знаний о числах, тогда не имело никакого смысла вести самостоятельную исследовательскую работу; авторитарность и преклонение перед пророчествами главы секты пересекают поиск истины при помощи собственного мышления, откровения становятся выше разума.
Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая математика находится под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы и религиозно-идеалистического мировоззрения Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны математической деятельности. В пределах пифагорейской школы происходит дальнейшее развитие математики, но внутренние законы математического познания здесь вступают в противоречия с рядом методологических установок (необходимость научного общения - с обетом молчания, объективный поиск истины - с авторитарностью, преклонением перед изречениями главы секты). Эволюция пифагореизма убеждает в том, что как бы искусно не увязывались математические знания с религиозно-мистическими воззрениями, они чужды последним; прогресс математики приводит к разрыву с ними. Если же в силу конкретных исторических условий методологические положения идеалистического характера последовательно выдерживаются, то математическая деятельность получает одностороннюю ориентацию, что в конечном итоге отрицательно сказывается на его прогресс. Имеет место не только активное и глубокое влияние мировоззрения на развитие математического познания, но и обратное воздействие; о его силе можно судить по тем последствиям, которые оказало открытие иррациональности на всю мировоззренческую систему пифагорейцев.
Однако упадок пифагореизма в греческой философии не привёл к полному исчезновению пифагорейских тенденций. Не признавая пифагореизма как учения о математических началах мира, можно признавать его как определённый метод аргументации. В этом плане он оказал громадное влияние на последующее развитие философской и научной мысли вплоть до XIX века. Пифагореизм в современной науке сохраняется как антологизация различного вида числовых совпадений. Подавляющее большинство учёных скептически относится к числовым сопоставлениям, однако именно числовое совпадение помогло Максвеллу открыть электромагнитную природу света. Как можно отделить здесь зёрна от плевел и возможно ли сделать это вообще. Древнее философское учение оказывается, таким образом, тесно связанным с тонкими проблемами методологии современной науки.
За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики так же стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV- XV веках в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытно зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Важными результатами естественнонаучного направления в философии эпохи Возрождения были методы экспериментально-математического исследования природы.
В период средневековья считалось, что центр Земли совпадает с центром Вселенной. Солнце, луна и звезды укреплены на прозрачных сферических оболочках и вращаются вокруг единого центра. Коперник на основании тщательных астрономических наблюдений и их математической обработки сделал вывод, что Земля вращается вокруг Солнца. Эту идею высказывали еще древние, но никто из предшественников Коперника не мог дать ей достаточно полного математического обоснования. Математическую форму изложения учения Коперника отличал и Джордано Бруно, который вышел за пределы солнечной системы, представив Вселенную как безграничную область, заполненную бесчисленными мирами. Кеплер, на основе широкого использования математики, открывал законы движения планет. Галилей подтвердил и развил учение Коперника. "Важно подчеркнуть, что одним из руководящих критериев, направлявших Галилея на пути к выработке именно этой мировоззренческой концепции была математика", - писал Кедровский О.И.
Таким образом, возникало новое научное мышление. Созданные в первые десятилетия XVII века работами Кеплера и Галилея фрагменты новой науки были изолированы, поскольку земные небесные движения рассматривались как качественно отличные друг от друга. Отсутствовала синтезирующая концепция, которая соединила бы законы Кеплера и Галилея. Существенную роль в решении этой задачи сыграли работы Р. Декарта. Мир представлялся Декарту заполненным материей пространства. Природа материи состоит в протяженности, все свойства материальных тел сводятся к преобразованию протяженности, а все движения - к механическому перемещению. Таким образом, природа мироздания определяется в конечном итоге математическими и механическими характеристиками. Влияние математики при решении важных философских проблем несомненно, но оно не выражается через выявление строгих количественных закономерностей.
Декарт создал метод координат, перебросив мостик между алгеброй и геометрией. Алгебраические задачи теперь можно решать геометрическими методами и наоборот. Очень важно также было систематизирование им математических обозначений и перевод математики на современный язык. Декарт рассматривал всю математику как теорию алгебраических уравнений. Он считал всю математику универсальной, позволяющей решать математические и нематематические проблемы - "нужно лишь следовать по тому же пути". Поворотным пунктом математики была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движения и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникало и которое было и в целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем.