Многомерная геометрия (стр. 7 из 16)
Теперь докажем, что
и Пl не пересекаются. Проведём через точку С вспомогательную r-мерную плоскость 
, параллельную Пr. Тогда 
и поэтому Пkне может пересечь Пlибо в противном случае точка их пересечения принадлежала бы параллельным плоскостям Пr и . Следовательно, скрещивается с Пl. Теорема 2 доказана.Пусть в n-мерном аффинном пространстве Un даны скрещивающиеся плоскости Пk и Пl с направляющими подпространствами Lkи Ll, причём
, 
.Теорема 3. Существует единственная плоскость Пr+1 размерности
, содержащая плоскости Пk и Пl.Доказательство. Возьмём произвольную точку
и зафиксируем произвольную точку 
; обозначим через 
линейную оболочку вектора 
(рис. 16). Допустим, что существует какая-то плоскость 
, содержащая Пk и Пl; пусть 
- её направляющее подпространство. Очевидно, что должно содержать Lk, Llи 
, а следовательно, и сумму этих подпространств. Обозначим эту сумму через Lr+1: 
Обратно, если
- любое подпространство, включающее Lr+1, то , проходящая через точку А в направлении , будет содержать Пk и Пl. В самом деле, так как 
и 
, то 
; так как 
, то 
, так как и , то 
.
Рис. 21
Получим среди всех плоскостей
искомую плоскость Пr+1 минимальной размерности r + 1 в том единственном случае, когда в качестве берётся Lr+1. Подсчитаем r + 1. С этой целью рассмотрим 
и обозначим размерность 
через р. По теореме 3 (в n-мерном пространстве L имеются подпространства Lk и Ll, размерности которых соответственно равны kи l. Если их пересечение имеет размерность m, то размерность их суммы Lk + Ll равна r= k + l – m) имеем р = k + l – m.Покажем, что
есть прямая сумма, поэтому размерность Lr+1 равна р + 1, то есть (r+ 1) = (k + l – m) +1.Для этого достаточно показать, что вектор
не принадлежит пространству 
. Предположим противное. Пусть 
. Тогда по определению суммы подпространств существуют векторы х и у такие, что 
, 
, 
. (v) По первой аксиоме аффинного пространства найдётся точка С такая, что 
, причём 
. По второй аксиоме аффинного пространства 
. (vv)Учитывая (v), (vv), находим, что
, так что 
. Получается, что плоскости Пk и Пl имеют общую точку С, но это невозможно, поскольку плоскости Пk и Пl скрещиваются. Теорема 3 доказана.Замечание. Рисунок 20 лишь частично иллюстрирует теорему 3. Например, если размерности Пkи Пl больше m и различны между собой,
, то, как, 
Проведённые выше рассуждения показывают, что плоскости Пk и Пl, о которых идёт речь в теореме 3, не содержатся ни в какой плоскости меньшей размерности, чем r+ 1.
Сохраняя обозначения предыдущего подпункта, сформулируем достаточное условие пересечения двух плоскостей.
Теорема 4. Если в Un даны плоскости Пk и Пl, такие, что
, где m – размерность пересечения Lm направляющих подпространств Lk и Ll, то Пk и Пl пересекаются.Доказательство. Исключая тривиальный случай, когда какая-нибудь из данных плоскостей совпадает со всем пространством, имеет
В расположении двух данных плоскостей могут быть лишь три возможности:
либо Пk параллельна Пl;
либо плоскости Пk и Пlскрещиваются;
либо они пересекаются.
Если Пk параллельна Пl, то для размерности m пересечения соответствующих им пространств Lk и Ll имеем m = min(k, l). Теорема доказана.
2. Размерность многообразия k-плоскостей
Найдём размерность Рn,k, многообразия всех k-плоскостей
n-пространства.
Прежде всего заметим, что число параметров, от которых зависят k+1 точек M0, M1, …, Mkn – пространства с линейно независимыми векторами
, через которые проходит единственная k-плоскость, равно числу координат, 
этих точек, т. е. (k +1)n. Далее заметим, что число параметров, от которых зависят те же точки на k-плоскости, равно числу параметров 
этих точек, т. е. (k +1)k. Так как в n-пространстве, число параметров, от которых зависят точки 
равно сумме числа Рn,k и числа параметров, от которых зависят точки на k-плоскости, то получим, что 
, т. е. 
. (6. 7)§ 7.K-параллелепипеды в пространстве
1. Полуплоскости и параллелепипеды
Если в уравнении
(7. 1)k-плоскости придавать одному из параметров tb только неотрицательные значения
, а остальным параметрам – произвольные действительные значения, мы получим k-полуплоскость, ограничиваемую (k-1)-плоскостью,