Пусть

- вершины симплекса

. Примем

за начало координат, базис выберем следующим образом:

,

, …,

.
Тогда соотношения при

в координатах примут вид

(7.13)
откуда следует, что

(7.14)
С другой стороны, из (7.14) вытекает (7.13),если положить

для

,

. Таким образом, системы (7.13) и (7.14) эквивалентны и задают один и тот же симплекс

. (при

=3).

Рис. 26
Система неравенств (7.14) показывает, пересечением каких полупространств образован симплекс

.
Выше говорилось, что многогранник можно представить в виде куска пространства, «высеченного» несколькими гиперплоскостями.
Отметим попутно, что слово «симплекс» (simplex) в переводе с латинского означает «простой».
В следующем параграфе данной главы состоится знакомство с

-симплексами в пространстве.
§8. K-симплексы в пространстве
1. Симплексы
Если заданы

точек

не лежащих в одной (

) –плоскости, то точки, определяемые радиус-векторами

, (8.1)
где индекс

пробегает значения от 0 до

, а параметры

связаны условием

(8.2)
образуют

- симплекс с вершинами

, который будем называть

- симплексом

.На рисунке 23 а, б, и в изображен 2 - симплекс (треугольник)

3 – симплекс (тетраэдр)

и 4 – симплекс

.

Рис. 27
Грани симплекса.
Если в уравнении (8.1) один из параметров

равен 0, получаем

- симплекс, называемый гранью

- симплекса. Грани этих

- симплексов называются

- гранями

- симплекса, грани этих

-симплексов называются

- гранями

- симплекса и т.д. Таким образом,

- симплекс обладает

- гранями, где

пробегает значения от 0 до

; 0 – грани

- симплекса совпадают с его вершинами, 1-грани называются ребрами (при

- сторонами). На рисунке 3, а стороны треугольника – 3 отрезка

; на рисунке 3, б ребра тетраэдра - 6 отрезков

, 2–грани-4треугольника
А0А1А2,

; на рисунке 3, в - ребра 4 – симплекса - 10 отрезков

,

,

, 2 – грани - 10 треугольников

,

,

,

,

,

,

, 3-грани - 5 тетраэдров

,

,

,

,

.
Если представим векторы

в виде

, то формулу (1) можно переписать в виде

, где параметры

ограничены условиями 0

,

.
Так как любая система

вершин

- симплекса определяет

- грань симплекса, число

- граней симплекса равно числу сочетаний из

по

, т.е.

=

. (8.3)