Пример. В трехмерном евклидовом пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат (

) рассмотрим прямоугольные параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям. Пусть (

) – координаты центра параллелепипеда,

– длины его ребер, параллельных осям

соответственно. Обозначим через

множество тех параллелепипедов указанного вида, центры которых лежат в кубе

,

,

, длины ребер не превышают

. Каждому параллелепипеду из множества

можно поставить в соответствие точку шестимерного аффинного пространства

с координатами (

,

). Тогда само множество

можно рассматривать как шестимерный параллелепипед.

,

,

,

,

,

.
Затем, что геометрические фигуры одного пространства часто бывает удобно рассматривать как точки другого пространства.
Определение. Множество точек в аффинном пространстве

называется ограниченным, если координаты всех точек этого множества удовлетворяют неравенству

(

> 0 – некоторое число).
Это определение не зависит от выбора аффинной системы координат. Множество ограниченно в том и только в том случае, если оно содержится в некотором параллелепипеде.
Определение. Выпуклой оболочкой множества

точек в аффинном пространстве

называется такое выпуклое множество

, которое содержится в любом выпуклом множестве, содержащем

.
Пример. 1) Выпуклой оболочкой двух точек

,

является отрезок

.
2) Выпуклая оболочка любого конечного числа точек является ограниченным выпуклым многогранником, а конечная система точек – его вершинами.
Пусть в аффинном пространстве

даны точки

с радиус-векторами

соответственно.
Определение. Выпуклая оболочка системы точек

, находящихся в общем положении, называется

-мерным симплексом с вершинами

.
Симплекс с вершинами

при

. При этом числа

называются барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор

.
Частные случаи:
нульмерный симплекс – одна точка;
одномерный симплекс - отрезок;
двумерный симплекс – треугольник;
трехмерный симплекс – треугольная пирамида.
Точка симплекса, в которой все барицентрические координаты равны между собой

, называется центром симплекса.
Пусть

- симплекс с вершинами

; и пусть

- какой-нибудь из его вершин.

-мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой вершин

называется

-мерной гранью симплекса

. Одномерные грани, то есть отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.
Две грани размерности

и

-

называются противоположными гранями симплекса

, если они не имеют общих вершин.
В качестве упражнений докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней, и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит через центр симплекса.
Докажем, что

-мерный симплекс в

-мерном пространстве представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе

.