Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца (стр. 4 из 5)

Заметим, что

Согласно (2) получаем:

то есть

↪

Докажем обратное включение. Пусть

Введем следующие обозначения:

Тогда

Пусть для определенности

Возможны следующие случаи:

В первом случае получаем, что

Во втором случае

, следовательно

. Представим

, тогда

. Здесь и далее

- целая часть числа

Получаем

Заметим, что существует

такое, что

Положим

Тогда

Таким образом, получаем

Из того, что

Имеем

То есть

. Следовательно

↪

где соответствующие константы не зависят от N.

Лемма доказана.

Для пары пространств

определим интерполяционные пространства

аналогично [5] .

Пусть

, тогда

где

При q=∞

Лемма 4.4 Пусть

, d>1. Тогда

Справедлива следующая

Теорема 4.1 Пусть ≤p₀<p₁<∞, 1<q₀,q₁≤∞, M – произвольная сеть. Тогда

↪

где

Доказательство.

Учитывая, что

↪

нам достаточно, доказать следующее вложение

↪

Пусть

Рассмотрим произвольное представление a=a₀+a₁, где

тогда

(3)

Так как представление a=a₀+a₁ произвольно, то из (3) следует

Где

Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя

лемму 4.4 , получаем:

Теорема доказана.

Теорема 4.2 Пусть 1≤p₀<p₁<∞, 1<q₀,q₁≤∞,

Тогда имеет место равенство

Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими

Доказательство. По теореме 4.1 и того, что

является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:

↩

Определим элементы

следующим образом

, тогда

Заметим что

(4)

где

(5)

где

Тогда

Из (4) и (5) имеем:

Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:

где

Таким образом, получаем, что

Аналогично рассмотрим второе слагаемое: