Рішення ірраціональних рівнянь (стр. 5 из 9)

Відповідь:

.

Зауваження. Також рівняння виду

можна вирішувати за допомогою ОПЗ рівняння й рівносильних переходів від одних рівнянь до інших.

Приклад 3. Вирішити рівняння

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.

ОПЗ:

Отже,

На ОПЗ обидві частини рівняння позитивні, тому після введення у квадрат одержимо рівняння:

, рівносильне для рівнянню

Іноді рішення рівняння можна знайти, вирішуючи його на різних числових проміжках.

Для кожного

маємо , а . Отже, серед немає рішень рівняння .

Для

маємо . Отже, для . . Тоді . Так як , те є коренем рівняння , рівносильному рівнянню для цих х.

Відповідь:

.

Приклад 4. Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо вихідне рівняння.

Зведемо обидві частини даного рівняння у квадрат.

Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.

Зауваження. Іноді значно простіше можна вирішувати рівняння виду

, якщо скористатися властивостями монотонності функцій, а саме тим, що сума двох зростаючих функцій є зростаючою функцією, і всяка монотонна функція кожне своє значення приймає, лише при одному значенні аргументу. Дійсно, функції й - зростаючі. Отже, їхня сума - зростаюча функція.

Виходить, вихідне рівняння, якщо має корінь, те тільки один. У цьому випадку, з огляду на, що

, підбором легко знайти, що 5 є коренем вихідного рівняння.

Приклад 5. Вирішити рівняння

Рішення. Якщо обидві частини вихідного рівняння піднести до квадрата, то вийде досить складне рівняння. Надійдемо по-іншому: перетворимо рівняння до виду:

Вирішимо нерівність системи.

Рішенням системи є множина:

.

Вирішимо рівняння системи.

Переконуємося, що 2 належить множині рішень нерівності (мал.1).

Зауваження. Якщо вирішувати дане рівняння введенням обох частин у квадрат, то необхідно виконати перевірку. 2 - ціле число, тому при виконанні перевірки труднощів не виникають. А що стосується значення

, то підстановка його у вихідне рівняння приводить до досить складних обчислень. Однак такої підстановки можна уникнути, якщо помітити, що при цьому значенні права частина рівняння приймає негативне значення: . Тоді як ліва частина рівняння негативної бути не може. Таким чином, не є коренем рівняння - наслідку даного рівняння. Тим більше, це значення не може бути коренем вихідного рівняння. Отже, корінь рівняння - число 2.

Приклад 6. Вирішити рівняння

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.

ОПЗ:

Отже,

Для будь-яких значень

із ОПЗ, що задовольняють умові , тобто для із проміжку ліва частина рівняння негативна, а перша – ненегативна, виходить, жодне із цих рішенням рівняння бути не може.

Нехай

. Для таких обидві частини рівняння ненегативні, і тому воно рівносильне на цій множині рівнянню:

.

Уведемо нову змінну.

. Одержуємо, що . Тоді - не задовольняє умові , .

Виконаємо зворотну заміну.

; ;

.

Тоді

- не задовольняє умові ,

Відповідь:

.

Приклад 7. Вирішити рівняння

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.

ОПЗ:

Отже, що

Легко бачити, що

, тому що .

Розділимо обидві частини рівняння на

. Одержуємо, що