Рішення ірраціональних рівнянь (стр. 4 из 9)

Вирішимо кожне рівняння із сукупності.

; .

(1).

З огляду на, що ОПЗ:

одержуємо, що рівняння (1) рівно сильно сукупності:

. Тоді , не задовольняє умові

, дане рівняння не має корінь.

Отже, сукупність прийме наступний вид:

Повернемося до системи:

Відповідь: {-3;6}.

2.3 Ірраціональні рівняння, які вирішуються введенням нової змінної

При рішенні різних видів рівнянь: раціональних, тригонометричних, показових часто використовується метод введення нової змінної. Нова змінна в рівняннях іноді дійсно очевидна, але іноді її важко побачити, а можна виявити тільки лише в процесі яких або перетворень. Буває корисно ввести не одну, а дві змінні. Бачимо типові випадки введення нових змінних в ірраціональних рівняннях.

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення. Уведемо нову змінну. Нехай

, , де . Одержуємо, що .Тоді - не задовольняє умові

Виконаємо зворотну заміну.

Відповідь:{34}.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення. Самота радикала й введення в ступінь обох частин рівняння привело б до громіздкого рівняння. У той же час, якщо виявити деяку спостережливість, то можна помітити, що дане рівняння зводитися до квадратного. Дійсно, помножимо обидві частини заданого рівняння на 2, одержимо, що

Уведемо нову змінну. Нехай

Одержуємо, що . Тоді - не задовольняє умові ,

Виконаємо зворотну заміну.

Тоді ,

Так як вихідне рівняння рівносильне рівнянню

те перевірка отриманих корінь не потрібна.

Відповідь: {-2;3,5}.

Приклад 3. Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо дане рівняння.

Уведемо нову змінну. Нехай,

а Одержуємо, що . Тоді - не задовольняє умові .

Виконаємо зворотну заміну.

.

2.4 Рівняння виду

,

,

Дані рівняння можна вирішити за допомогою основного методу рішення ірраціональних рівнянь (введення у квадрат обох частин рівняння), але іноді їх можна вирішити й іншими методами.

Розглянемо рівняння

(1). Нехай - корінь рівняння (1). Тоді справедливо числова рівність . Знайдемо різницю чисел і , позначивши її , і запишемо дану рівність у вигляді (2).

Використовуючи, що

, запишемо рівність (2) у вигляді . Дана рівність означає, що число є корінь рівняння (3).

Таким чином, рівняння (3) є наслідком рівняння (1). Складаючи ці два рівняння й множачи отримане рівняння на а, одержимо рівняння

(4), що також є наслідком рівняння (1). Звівши рівняння (4) у квадрат і вирішивши отримане рівняння, потрібне виконати перевірку знайдених корінь, тобто перевірити, чи є його коріння коріннями рівняння (1).

Зауваження. Відзначимо, що точно також доводиться, що рівняння (4) є наслідок рівняння

.

Приклад 1. Вирішити рівняння

(5).

Рішення. Різниця підкореневих виражень

і є

. ,

те рівняння

(6) є наслідком вихідного рівняння. Тоді, складаючи рівняння (5) і (6), одержимо рівняння (7), що також є наслідком вихідного рівняння (5). Зведемо обидві частини рівняння (6) у квадрат, одержимо рівняння (8), що також є наслідком вихідного рівняння. Вирішуючи рівняння (8), одержуємо, що ,

Перевіркою переконуємося, що обоє цих числа є коріннями вихідного рівняння.

Відповідь:

.

Зауваження. Рівняння виду

можна вирішувати множенням обох частин рівняння на деяке вираження, що не приймає значення нуль (на сполучене лівій частині рівняння тобто

Приклад 2. Вирішити рівняння

(8).

Рішення.

, те помножимо обидві частини рівняння на вираження , що є сполученим лівої частини рівняння (8). . Після приведення подібних доданків одержуємо рівняння (9), рівносильне вихідному, тому що рівняння дійсних корінь не має. Складаючи рівняння (8) і (9) одержуємо, що . Тоді