Рішення ірраціональних рівнянь (стр. 2 из 9)

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рішення.

. Тоді .

Перевірка.

При

знаменник рівняння не звертається в нуль, а при - звертається. Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь: -10.

Відповідь:

.

2. Введення обох частин рівняння у квадрат

Нехай дані два рівняння

(1) і . Якщо - корінь першого рівняння, то вірно рівність . З рівності двох чисел випливає рівність їхніх квадратів, тобто , а це означає, що - корінь рівняння (2). Значить із рівняння (1) потрібне рівняння (2).

У той же час із рівності квадратів чисел не потрібне рівність цих чисел. Тому з рівняння (2) не потрібне рівняння (1). Звідси випливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося введення обох частин рівняння у квадрат, те потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяє виключити «сторонні» корені, якщо вони з'явилися.

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння у квадрат.

; .Тоді , .

Перевірка.

Якщо

, те , рівність не вірно, отже, -1- не є коренем вихідного рівняння.

Якщо

, то 4=4, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.

Відповідь: {4}.

3. Виконання в одній частині (або в обох частинах) рівняння тотожних перетворень, що приводять до розширення області визначення рівняння.

Якщо деяке тотожне перетворення привело до розширення області визначення рівняння, то одержуємо рівняння - наслідок. При цьому можуть існувати такі значення змінної, які є коріннями вихідного рівняння.

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рішення. Виконавши приведення подібних доданків, одержимо:

. Тоді , .

Перевірка.

Якщо

, то вираження не має змісту.

Якщо

, те , рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:5.

Відповідь: {5}.

Приклад 2. Вирішити рівняння

.

Рішення.

або . Тоді , .

Перевірка.

Якщо

, то вираження не має змісту.

Якщо

, те , рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:-2.

Якщо при рішенні рівняння ми замінили його рівнянням - наслідком, то зазначена вище перевірка є невід'ємною частиною рішення рівняння. Тому важливо знати, при яких перетвореннях дане рівняння переходить у наслідок.

Розглянемо рівняння

(3) і помножимо обидві частини його на одне й теж вираження , що має зміст при всіх значеннях . Одержимо рівняння: (4), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь рівняння .

Виходить, рівняння (4) є наслідок рівняння (3). Ясно, що рівняння (3) і (4) рівносильні, якщо «стороннє» рівняння

не має корінь. Таким чином, справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння помножити на

, то вийде рівняння, що є наслідком вихідного. Якщо рівняння не має корінь, то отримане рівняння рівносильне вихідному (якщо область припустимих значень не вже області припустимих значень змінної даного рівняння).

Приклад 1.

.

Помітимо, що подібне перетворення, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння (3) діленням обох частин рівняння (4) на вираження

, як правило, неприпустимо, оскільки можна привести до втрати корінь, у цьому випадку можуть «втратитися» коріння рівняння .

Приклад 2. Рівняння

має два корені: 3 і 4.

Ділення обох частин рівняння на

приводить до рівняння , що має тільки один корінь 4, тобто відбулася втрата кореня.

Знову візьмемо рівняння (3) і зведемо обидві його частини у квадрат. Одержимо рівняння:

(5), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь «стороннього» рівняння . Ясно, що рівняння (3) і (5) рівносильні, якщо в «стороннього» рівняння немає кореню.

Приклад 3. Рівняння

має корінь 4. Якщо обидві частини цього рівняння піднести до квадрата, то вийде рівняння , що мають два корені: -2 і 4. Виходить, рівняння - наслідок рівняння . При переході від рівняння до рівняння з'явився «сторонній» корінь: -2.

Теорема 2. При піднесенні обох частин рівняння у квадрат (і взагалі в будь-який парний ступінь) виходить рівняння, що є наслідком вихідного.

Приклад 1.

.

При рішенні ірраціонального рівняння найчастіше намагаються замінити його більше простим, але рівносильним вихідному. Тому важливо знати рівносильні перетворення.

Визначення 10. Рівняння, що має ті самі корінь, називають рівносильними рівняннями. Рівняння, що не мають корінь, також уважають рівносильними. Іншими словами два рівняння називають рівносильними, якщо множини їхніх рішень збігаються. Рівносиль позначається в такий спосіб:

.

Приклад 1. Рівняння

й рівносильні, тому що кожне з них має єдиний корінь – число 3. .

Приклад 2. Рівняння

й не рівносильні, тому що перше має тільки один корінь: 6, а друге має два корені: 6 і -6.