Основы математического анализа (стр. 3 из 4)

Рассмотрим следующие два случая:

1) x₁ = x₂ = ... = x_n = x_n+1 = 1. Тогда сумма этих чисел равна (n + 1), и требуемое неравество выполняется;

2) хотя бы одно число отлично от единицы, пусть, например, больше единицы. Тогда, поскольку x₁x₂· ... ·x_n·x_{n + 1} = 1, существует еще хотя бы одно число, отличное от единицы (точнее, меньше единицы). Пусть x_{n + 1} > 1 и x_n < 1. Рассмотрим n положительных чисел

x₁,x₂,...,x_n-1,(x_n·x_n+1).

Произведение этих чисел равно единице, и, согласно гипотезе,

x₁ + x₂ + ... + x_n-1 + x_nx_{n + 1} ≥ n.

Последнее неравенство переписывается следующим образом:

x₁ + x₂ + ... + x_n-1 + x_nx_n+1 + x_n + x_n+1 ≥ n + x_n + x_n+1

или

x₁ + x₂ + ... + x_n-1 + x_n + x_n+1 ≥ n + x_n + x_n+1 - x_nx_n+1.

Поскольку

(1 - x_n)(x_n+1 - 1) > 0,

n + x_n + x_n+1 - x_nx_n+1 = n + 1 + x_n+1(1 - x_n) - 1 + x_n = = n + 1 + x_n+1(1 - x_n) - (1 - x_n) = n + 1 + (1 - x_n)(x_n+1 - 1) ≥ n + 1.

Следовательно,

x₁ + x₂ + ... + x_n + x_n+1 ≥ n+1,

то есть, если P(n) справедливо, то и P(n + 1) справедливо. Неравенство доказано.

Замечание 4. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x₁ = x₂ = ... = x_n = 1.

c) Пусть x₁,x₂,...,x_n - произвольные положительные числа. Рассмотрим следующие n положительных чисел:

Поскольку их произведение равно единице:

согласно ранее доказанному неравенству b), следует, что

откуда

Замечание 5. Равенство выполняется если и только если x₁ = x₂ = ... = x_n.

d) P(1) - : sin²a + cos²a = 1. ,  P(n) - :

sin²ⁿa + cos²ⁿa ≤ 1

,  P(n + 1). ,

sin^{2(n + 1)}a + cos^{2(n + 1)}a = sin²ⁿasin²a + cos²ⁿacos²a < sin²ⁿa + cos²ⁿa ≤ 1

( sin²a ≤ 1,  cos²a < 1, :  cos²a ≤ 1,  sin²a < 1). ,  n Î N sin²ⁿa + cos²ⁿ≤ 1  n = 1.

e) При n = 1 утверждение справедливо:

1 < ³/₂.

Допустим, что

и докажем, что

Поскольку

учитывая P(n), получим

f) Учитывая замечание 1, проверим P(10): 2¹⁰ > 10³, 1024 > 1000, следовательно, для n = 10 утверждение справедливо. Предположим, что 2ⁿ > n³ (n > 10) и докажем P(n + 1), то есть 2ⁿ⁺¹ > (n + 1)³.

Поскольку при n > 10 имеем

или , следует, что

2n³ > n³ + 3n² + 3n + 1 илиn³ > 3n² + 3n + 1.

Учитывая неравенство (2ⁿ > n³), получим

2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ·2 = 2ⁿ + 2ⁿ > n³ + n³ > n³ + 3n² + 3n + 1 = (n + 1)³.

Таким образом, согласно методу математической индукции, для любого  n Î N, n ≥ 10  2ⁿ > n³.

 3.,  n Î N

a) n(2n² - 3n + 1) делится на 6,

b) 6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1 делится на 11.

Решение. a) P(1) - истинное утверждение (0 делится на 6). Пусть P(n) справедливо, то есть n(2n² - 3n + 1) = n(n - 1)(2n - 1) делится на 6. Покажем, что тогда имеет место P(n + 1), то есть, (n + 1)n(2n + 1) делится на 6. Действительно, поскольку

n(n + 1)(2n + 1) = n(n - 1 + 2)(2n - 1 + 2) = (n(n - 1) + 2n)(2n - 1 + 2) =

= n(n - 1)(2n - 1) + 2n(n - 1) + 2n(2n + 1) = n(n - 1)(2n - 1) + 2n·3n =

= n(n - 1)(2n - 1) + 6n²

и, как n(n - 1)(2n - 1), так и 6n² делятся на 6, тогда и их сумма n(n + 1)(2n + 1) делится 6.

Таким образом, P(n + 1) - справедливое утверждение, и, следовательно, n(2n² - 3n + 1) делится на 6 для любого n  N.

b) Проверим P(1): 6⁰ + 3² + 3⁰ = 11, следовательно, P(1) - справедливое утверждение. Следует доказать, что если 6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1 делится на 11 (P(n)), тогда и 6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ также делится на 11 (P(n + 1)). Действительно, поскольку

6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ = 6^2n-2+2 + 3ⁿ⁺¹⁺¹ + 3^n-1+1 =

= 6²·6^2n-2 + 3·3ⁿ⁺¹ + 3·3^n-1 = 3·(6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1) + 33·6^2n-2

и, как 6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1, так и 33·6^2n-2 делятся на 11, тогда и их сумма 6²ⁿ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ делится на 11. Утверждение доказано.

Несобственные интегралы

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и

,

; кроме того

Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется предел:

если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Пример:

Если a = 1, то

Следовательно, при a < 1 интеграл

Аналогично определяется несобственный интеграл, если

Определение несобственного интеграла 2 рода:

Пусть

:

и существует предел:

Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.

Пример:

Если a = 1, то

Следовательно, несобственный интеграл

Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов применяется признак сравнения:

Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству:

и несобственный интеграл

сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл

.

Доказательство: В силу сходимости

по критерию Коши для функции

, выполняется неравенство

. Но тогда, ввиду неравенств:

аналогично неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.

Следовательно, по критерию Коши существует предел:

,

т.е. этот интеграл сходится.

Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов 2 рода.

Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если несобственный интеграл

расходится, то расходится и несобственный интеграл

.

Эйлеровы интегралы G(a) и B(a, b).

Определим функцию G(a) равенством:

.