Діафантові рівняння (стр. 7 из 10)

Отримаємо:

Так як

неважко встановити межі для 𝑡:

,

З цього можемо зробити висновок, що для 𝑡 можливі тільки два цілих значення: 𝑡=0, 𝑡=1.

Відповідні значення 𝑥, 𝑦 і 𝑧 будуть такими:

𝑡=0	0	1
𝑥=0	20	28
𝑦=0	20	0
𝑧=0	0	3

Перевірка

Задача3.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.

Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.

Якщо, наприклад, задумана дата – 9 лютого, то наступні дії будуть такими:

За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.

Задача зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими

у цілих, додатних числах, причому число місяця 𝑥 не більше 31, а номер місяця 𝑦 не більше 12.

Знаючи, що

і , знаходимо межі для

Отже

, 𝑥=9, 𝑦=2.

Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.

Задача4.

Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:

1. Їх додали;

2. Відняли від більшого менше;

3. Перемножили;

4. Поділили більше на менше.

Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.

Розв'язок.

Якщо більше число 𝑥, а менше число 𝑦, то

Якщо рівняння помножити на 𝑦, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:

Але

Тому

Щоб 𝑥 було цілим числом, знаменник

повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що 𝑦 не може мати спільні множники із 𝑦+1). Знаючи, що 243= , можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо 𝑦 (додатне), що дорівнює 8 або 2.

Тоді 𝑥 дорівнює

Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.

Задача5.

Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто

Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?

Розв'язок.

Позначимо цифри шуканих чисел через 𝑥 і 𝑦, 𝑧 і 𝑡, отримаємо рівняння:

Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:

де 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 – цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв’язки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:

Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності

саємо один розв'язок:

Із рівності

знаходимо два розв’язки:

Аналогічно знаходимо наступні 14 розв’язків:

§2. Знаходження всіх цілих розв’язків діофантових рівнянь вищих порядків

Приклад 1.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:

оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа

та також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:

Отже, для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел

рівний трьом.

Відповідь: (0, 0), (1,

), ( ), ( ).

Приклад 2.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв’яжемо його.