Діафантові рівняння (стр. 2 из 10)

тобто

2) Нехай тепер

. Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких цілих значеннях ділиться на 𝑑, а права частина на 𝑑 не ділиться, так, що рівність (2) при цілих значеннях неможлива.

3) Якщо

- набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то, наприклад, всі набори при також задовольняють дане рівняння і, таким чином, у нас або взагалі не буде розв’язків , або їх буде безліч.

Якщо хоча б одна пара коефіцієнтів взаємно прості числа, то 𝑑 = 1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв’язків.

Приклад.

1. Діофантове рівняння

не має розв’язків , бо у даному випадку 𝑑 = 3 і 100 не ділиться на 3.

2. Діофантове рівняння

має нескінченну кількість розв’язків, оскільки 𝑑 = 1.

Теорема 3.

Якщо

задовольняє конгруенцію

,

то

є розв’язком діофантового рівняння

(4)

Доведення.

Із

випливає, що - ціле число, і безпосередня підстановка показує, що

Теорема 4.

Нехай 𝑑 – найбільший спільний дільник чисел 𝑎 і 𝑏, де

і - деякий розв'язок діофантового рівняння:

Тоді множина розв’язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел (

), де , а 𝑡 – будь-яке ціле число.

Доведення.

Нехай

- довільний розв'язок діофантового рівняння (4), тобто (5)

за умовою

задовольняють рівняння (4), тобто

віднявши від рівності (5) останню рівність і поділивши все на 𝑑, отримаємо:

де

і – цілі числа. Тоді , причому , маємо , , , де 𝑡 – деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення в (5), отримаємо:

звідки

.

Таким чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:

, ,

де 𝑡 – деяке ціле число.

Обернене твердження також правильне. Нехай

такий набір пар чисел, що

, .

Безпосередня перевірка показує, що

Тобто

- розв'язок діофантового рівняння (4).

Зауваження.

Теорема правильнаі тоді, коли 𝑎 і 𝑏 дорівнюють нулю. Наприклад, при

, тобто у випадку рівняння , отримуємо і при для 𝑦 існує єдине значення , а 𝑥 – довільне ціле. Будь-який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді , , і при будь-якому 𝑡 такі задовольняють рівняння .

Приклад.

Розв’язати рівняння

У цьому рівнянні (50, 42) = 2. 34

. Розглянувши конгруенцію знаходимо:

, так що 25 .

Будь-який розв'язок даного діофантового рівняння має вигляд:

§2. Невизначені рівняння вищих порядків

2.1 Рівняння

. Піфагорові трійки

Розв'язок невизначеного рівняння

в цілих числах.

Можна взяти 𝑥, 𝑦, 𝑧 такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна було б одразу скоротити обидві частини рівняння

на квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що 𝑥, 𝑦, 𝑧 є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад 𝑥, 𝑦 ділились на , то і 𝑧 ділилось би на 𝑑. Таким чином, одне з чисел 𝑥, 𝑦 повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в протилежному випадку, якщо б , то ділилось на 2, але не ділилось би на 4 і тому не було б квадратом.(Якщо . Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).

Нехай 𝑥 – парне, 𝑦 – непарне, тоді 𝑧 – непарне. Візьмемо

отримаємо

.

𝑡 і 𝑢 – взаємно прості. Дійсно, якщо 𝑡 і 𝑢 мали спільний множник

, то 𝑑 містився б в , а це неможливо, бо 𝑦 та 𝑧 є взаємно простими.

Тому 𝑡 та 𝑢 повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо

Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо

Але так як 𝑡 та 𝑢 взаємно прості, то для кожного 𝑖одне із чисел

дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел 𝑡 та 𝑢 парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом: