Проблема Ферма для простых показателей больше 3 (стр. 3 из 5)
Теорема: Неопределенное уравнение XP+ YP= ZPне имеет решений в натуральных числах, где P– простое число >3.
Доказательство ведем от противного.
Пусть существует решение неопределенного уравнения
XP+ YP= ZP (1.12)
в натуральных числах и пусть это решение примитивное, т.е.
(X, Y) = 1, (Z, X) = 1, (Z, Y) = 1. (1.13)
1.3 Основные обозначения и соотношения
Все вводимые ниже числа принадлежат N +.
Благодаря (1.12) и (1.13) одно из чисел (X, Yи Z) четное.
Пусть
d0 = НОД+(X+ Y, Z) Þпусть X+ Y= C0d0, (1.14)
а Z= a0d0, (1.15)
где (a0, С0) = 1; (1.16)
d1 = НОД+(Z– X, Y) Þпусть Z– X= C1d1, (1.17)
а Y= a1d1, (1.18)
где (a1, C1) = 1; (1.19)
d2 = НОД+(Z– Y, X) Þпусть Z– Y= C2d2, (1.20)
а X= a2d2, (1.21)
где (a2, С2) = 1. (1.22)
Благодаря (1.13) (d0, d1) = 1, (d0, d2) = 1 и (d2, d1) = 1.
Запишем трехчлен (X+ Y– Z) в трех формах и, учитывая (1.14) и (1.15), (1.17) и (1.18), (1.20) и (1.21), получим соответственно:
(X + Y) – Z = C0d0 – a0d0 = d0(C0 – a0), (1.23)
Y – (Z – X) = a1d1 – C1d1 = d1(a1 – C1), (1.24)
X– (Z– Y) = a2d2 – C2d2 = d2(a2 – C2). (1.25)
С учетом условия п. 1.3.3 и равенств (1.23), (1.24) и (1.25) будет справедливо равенство и сравнение
X + Y – Z = Kd0d1d2, Þ X + Y – Z º 0 mod K (1.26)
где K>3 (докажем ниже).
Решая совместно (1.26) и (1.23), (1.26) и (1.24), (1.26) и (1.25), получим соответственно:
С0 – a0 = Kd1d2, (1.27)
a1 – C1 = Kd0d2, (1.28)
a2 – C2 = Kd0d1. (1.29)
Из равенства (1.27) с учетом условия (1.16) следует, что (a0,K) =1 и (C0,K) = 1, но тогда и (Z,K) = 1.
Из равенства (1.28) с учетом условия (1.19) следует, что (a1,K) =1 и (C1,K) = 1, но тогда и (Y,K) = 1.
Из равенства (1.29) с учетом условия (1.21) следует, что (a2,K) =1 и (C2,K) = 1, но тогда и (X,K) = 1.
Так как число Kпопарно взаимно простое с числами X, Yи Z, а одно из этих чисел четное (п.1.3.1.), то K– число нечетное.
В дальнейшем мы будем использовать числа Kи K2 в качестве модулей вспомогательных сравнений, для чего ниже будет дано углубленное представление об числе K.
1.4 Формулы Абеля в наших обозначениях и их связь с другими установленными соотношениями
Для 1-го случая Проблемы Ферма (далее ПФ), т.е. когда (X, P) = 1, (Z, P) = 1, (Y, P) = 1, формулы Абеля и основные соотношения(1.3.2) будут связаны соответственно:
X+ Y=
=C0d0, отсюда С0= 
, (1.30)Z– X=
= C1d1, отсюда С1 = 
, (1.31)Z– Y=
= C2d2, отсюда C2 = 
; (1.32)X P–1 – X P–2 Y + …– XY P–2 + Y P–1 =
, (1.33)Z P–1 + Z P–2 X + …+ ZX P–2 + X P–1 =
, (1.34)Z P–1 + Z P–2 Y +…+ ZY P–2 + Y P–1 =
. (1.35)Для 2-го случая ПФ ограничимся вариантом, когда
(Z, P) = P, (X, P) = 1, (Y, P) = 1, в этом случае формулы Абеля и основные соотношения (1.3.2) будут связаны соответственно:
X + Y =
/P = C0d0,C0 = d0P -1/P, (1.36)
Левые части формул Абеля (1.33),(1.34),(1.35) и (1.37), запишем с учетом (1.7) и (1.6) – теоремы 1.1., , а также с учетом (1.11) теоремы 1.2.вынося PXYза квадратные скобки:
С учетом теоремы 1.1.
(X+ Y)P–1 – PXY[(X+ Y)P–3 +
XY(X+Y)P–5 +…+(–1)P–5/2 
XP–5/2 YP–5/2 (X + Y)2 + (–1)P–3/2XP–3/2YP–3/2 ] = [для (1.33)], (1.38)(Z - X)P–1 + PZX[(Z - X)P–3 +
ZX(Z - X)P–5 ZP–5/2 XP–5/2 (Z - X )2 + ZP–3/2 XP–3/2 ] = [для (1.34)], (1.39)(Z - Y)P–1 + PZY[(Z - Y)P–3 +
ZY(Z - Y)P–5 +… Z P–5/2 Y P–5/2 (Z - Y)2 + ZP–3/2Y P–3/2 ] = [для(1.35)], (1.40)(X + Y)P–1 – PXY [(X + Y)P–3 –
XY(X +Y)P–5 + –1)P–5/2 X P–5/2 Y P–5/2 (X + Y)2 + (–1)P–3/2X P–3/2Y P–3/2 ] = P [для(1.37)], (1.41)(X + Y)P -1 – PXY [(X + Y)2 – XY]S
= [для (1.33)]; (1.42)(X + Y)P -1 – PXY [(X + Y)2 – XY]S
= 
[для(1.37)], (1.43)(Z - X)P -1 +PZX [(Z - X)2 + ZX]SW11 = a1P [для(1.34)];
(Z - Y)P -1 + PZY [(Z - Y)2 + ZY]SW21= a2P [для(1.35)];
А принимая во внимание, что с учетом(1.30) и (1.36) степень
(X+ Y)P–1 = (C0d0)P–1 =C0P- для 1- го случая ПФ и
(X+ Y)P–1 = (C0d0)P–1 = PC0P– для 2 –го случая ПФ.
Тогда последние равенства для формул Абеля (1.33) и (1.37) будут:
C0P– PXY [(X + Y)2 – XY]S
= [для(1.33)],PC0P– PXY [(X + Y)2 – XY]S
= [для(1.37)],из которых следуют [для (1.33)], PXY[(X+ Y)2 – XY]S
= C0P- a0P, (1.44)[для(1.37)], PXY [(X + Y)2 – XY]S
= P(C0P - a0P),а после сокращения на P
XY [(X + Y)2 – XY]S
= (C0P - a0P), (1.45)где
соответствует W0 и W11, W21соответствуют W[cм. (1.11)] теоремы 1.2., аs= 1 для Pвида 6n+ 5,
s= 2 для Pвида 6n+ 1.
Таким образом мы установили связь формул Абеля и полученных нами соотношений.
Далее о модуле K, а затем используя вспомогательные числа и вспомогательные сравнения по модулю K, доказательство того, что
(X + Y)2 – XYº 0 modK, (Z – X)2 + ZXº 0 modK, (Z – Y)2 + ZYº 0 modK.
Модуль K
Дальнейшие рассуждения требуют расширенного представления о модуле K.
Нижепокажем:
---- что для 1-го случая ПФ модуль K=eP2;
---- чтодля 2-го случая ПФ модуль K>3; ----- что для 2-го случая ПФ имеет место (K,P) = 1;
---- что простые числа вида 6n+ 5, не могут быть делителямиK(см. в разделе 1.7.);
--- что числа 3t, где t > 1, не могут быть делителями K(см.в разделе1.7.).
а) Для доказательства того, что K= eP2 для 1-го случая ПФ,
из равенств (1.38), (1.39) и (1.40) находим, что
(X+ Y)P–1 ºa0PmodP,
(Z– X)P–1 ºa1PmodP,
(Z– Y)P–1 ºa0PmodP, тогда благодаря Малой теореме Ферма имеем
a0P º 1 mod P, Þa0P º 1 mod P2, Þa0 = e0P + 1,
a1P º 1 mod P, Þa1P º 1 mod P2, Þa1 = e1P + 1,
a2P º 1 mod P, Þa2P º 1 mod P2, Þa2 = e2P + 1.
Очевидно, что XP+ YP– ZPº0 modP2
Тогда, с учетом последних сравнений и равенств (1.15), (.18) и (1.21) имеем
a2Рd2P+ a1PdP- a0Pd0Pº.d0P– d2P–d1Pº0 modP2. (1.46)
Но левая часть последнего сравнения с учетом (1.14), (1.17) и (1.20), а также равенства (1.26) будет
d0P – d2P –d1P = (X + Y) – (Z – Y) – (Z – X) = 2 (X + Y – Z) = 2Kd0d1d2 º 0 mod P2 Þ
ÞK= eP2, что и т.д. (1.47)
в)МодульK> 3.
Это условие докажем для двух вариантов 2-го случая, а именно:
---для варианта1, когда (Z,P) =P, а (X,P) = 1 и (Y,P) =1;
---для варианта 2, когда (Z,P) = 1, а (X,P) = Pи (Y,P) = 1.
Вариант, когда (Z,P) =1, (X,P) =1и(Y,P) = Pрассматривать не будемввиду его полной аналогии с вариантом 2.
Доказательство того, чтоK>3для варианта 1.
Пусть для определенности (для вариантов 1 и 2)
Z> X> Y(1.48)
Из неравенств P(X+ Y) .> Z – Y > Z – X, и с учетом (1.36) имеем
d0P> d2P>d1P, отсюда d0 > d2 > d1.
Составим алгебраическую сумму (X+ Y) – (Z– Y) – (Z– X) = 2(X+ Y– Zи умножим правую и левую части полученного равенства на Pполучим P(X+ Y) – P(Z– Y) – P(Z– X) = 2P(X+ Y– Z), тогда благодаря равенствам (1.36) и (1.26) имеем d0P- Pd2P- Pd1P= 2PKd0d1d2 Þd0P= Pd2P+ Pd1P+ 2PKd0d1d2. Разделим левую часть и последнее слагаемое правой части полученного равенства на d0 получим очевидное неравенство d0P-1 < Pd2P+ Pd1P+ 2PKd1d2.(в1)