Але

безперервна й має обмежену варіацію на будь-якому кінцевому інтервалі, а тому що

, те

(

) і

(

). Отже,

абсолютно інтегрувальна на

при

. Тому

при

, або

при

. Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, тому що

обмежено при

, поза деякою околицею крапки

. В околиці

й можна покласти

, де

обмежена при

,

і має логарифмічний порядок при

. Далі,

. Перший член дорівнює сумі відрахувань в особливих крапках, розташованих ліворуч від прямої

, тобто

. У другому члені можна покласти

, тому що

має при

лише логарифмічну особливість. Отже,

. Останній інтеграл прагне до нуля при

. Виходить,

(4).
Щоб перейти обернено до

, використовуємо наступну лему.
Нехай

позитивна й не убуває й нехай при

. Тоді

.
Дійсно, якщо

- дане позитивне число, те

(

). Звідси одержуємо для кожного

. Але тому що

не убуває, то

. Отже,

. Думаючи, наприклад,

, одержуємо

.
Аналогічно, розглядаючи

, одержуємо

, виходить

, що й було потрібно довести.
Застосовуючи лему, з (4) маємо, що

,

, тому

й теорема доведена.
Таким чином, ми з'ясували основні характеристики функції-дзета-функції: властивості функції в речовинній області, розподілу простих чисел у натуральному ряді й дослідження функції-дзета-функції як функції мнимого аргументу.
Список літератури
1.Титчмарш Е.К. Теорія функції-дзета-функції Римана. К., 2000 р.
2.Фихтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К, 2004
3.Привалов І.І. Введення в теорію функцій комплексного змінного. - К., 2003.
4.Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. – К., 1997.
5.Шафаревич З.О. Теорія чисел. – К., 2000