Дослідження дзета-функції Римана (стр. 3 из 6)

З (4) треба, що

, де N, а при . Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді . Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються в ряд: . Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємо . Залишається довести обмеженість останнього доданка. Ясно, що . Остання рівність справедливо, тому що . Далі, мабуть, , що й завершує доказ.

На цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функції Римана для дійсного аргументу, тому що найбільший теоретичний і прикладний інтерес представляє випадок викладений у другому розділі.

Розділ 2

Всі результати першого розділу, що стосуються дзета-функції Римана, були отримані в припущенні, що її аргумент s – дійсне число. Однак, найвидатніші дослідження й численні важливі додатки стали можливі лише після включення в область визначення функції комплексних чисел. Уперше розглянув дзета-функцію як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Риман, що глибоко вивчив її властивості й широко застосовував її в теорії чисел. На честь його функція одержала свою назву.

Для комплексної дзета-функції залишається в силі визначення, дане в главі 1, з тією лише зміною, що тепер там буде

C. Виникає необхідність знайти нову область визначення. Із цією метою доведемо наступне твердження: у напівплощині ( дійсна частина числа x) ряд

(1) сходиться абсолютно.

Нехай

. Підрахуємо абсолютні величини членів ряду (1), . Перший множник містить тільки речовинні числа й , тому що . До другого ж множника застосуємо знамениту формулу Ейлера, одержимо . Виходить, . Через збіжність ряду при α>1, маємо абсолютну збіжність ряду (1).

На своїй області визначення дзета-функція аналітична. Дійсно, при всякому q>0 і фіксованому α>1+q, числовий ряд

мажорирує ряд з абсолютних величин , де , звідки, по теоремі Вейерштраса, треба рівномірна збіжність ряду в напівплощині . Сума ж рівномірно збіжного ряду з аналітичних функцій сама є аналітичною функцією.

Неважко показати, що всі отримані для дзета-функції формули без змін переносяться на випадок комплексного аргументу. Доказу перетерплюють незначні перетворення, пов'язані з переходом до абсолютних величин.

У зв'язку із цим зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функції в добуток

, де s тепер будь-яке комплексне число, таке, що . Застосуємо його до доказу відсутності у функції корінь.

Оцінимо величину

, використовуючи властивість модуля : , де як звичайно . Тому що , те , а , отже, дзета-функція в нуль не звертається.

Питання про нулі дзета-функції, а також інші прикладні питання одержують нові широкі можливості для дослідження, якщо поширити її на всю комплексну площину. Тому, зараз ми одним з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функції й виведемо її функціональне рівняння, що характеризує й однозначно визначальне

.

Для цього нам знадобиться формула

(2), що виводиться в такий спосіб. Використовуючи властивості інтегралів можна записати . Для будь-якого d при , значить і , а . . Отже, . Інтеграл можна знайти інтегруванням вроздріб, приймаючи , ; тоді , а . У результаті . Віднімемо із цього інтеграла попередній і одержимо , звідси легко треба рівність (2).

Тепер покладемо в (2)

, , a і b – цілі позитивні числа. Тоді . Нехай спочатку , приймемо a=1, а b спрямуємо до нескінченності. Одержимо . Додамо по одиниці в обидві частини рівностей:

(3).

Вираження

є обмеженим, тому що , а функція абсолютно інтегрувальна на проміжку при , тобто при , . Виходить, інтеграл абсолютно сходиться при , причому рівномірно в будь-якій кінцевій області, що лежить у комплексній площині праворуч від прямої . Тим самим він визначає аналітичну функцію змінної s, регулярну при . Тому права частина рівності (3) являє собою аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину й має там лише один простий полюс у крапці з відрахуванням, рівним одиниці.