Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 7 из 18)
, 
регулярно 
кожне 
регулярно, регулярно 
.Доказ. (1) Візьмемо в
довільний елемент 
і запишемо його у вигляді 
, 
. Тоді 
так що
, звідки 
. Обернено, якщо , де 
, те 
звідки 
.(2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює 
.(3) Якщо 
, , те 
звідки 
. Отже, 
і, виходить, 
.Пропозиція 16 Якщо
- підпростір знакозмінного простору , те 
- анулятор простору 
в , тобто 
. Зокрема, 
.Доказ безпосередньо треба з визначень.
Пропозиція 17 Нехай
- регулярний підпростір знакозмінного простору . Тоді розщеплює , точніше, 
. Якщо 
- інше розщеплення, 
.Доказ. Тому що
регулярно, те 
. Отже, через 16 
Тому
й, виходить, . Далі, якщо , те 
, звідки 
. Порівнюючи розмірності, одержуємо .Пропозиція 18 Якщо
й 
- довільні підпростори регулярного знакозмінного простору розмірності 
, те 
, 
, 
, 
, 
.Доказ. Тому що
регулярно, те через Пропозиція11 відображення 
біективно. Отже, 
, звідки через 16 
. Цим доведено (1). Далі, 
, тому порівняння дає 
. Цим доведено (2). Доведемо тепер (3): 
Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.
Розглянемо радикал
знакозмінного простору , і нехай - підпростір простору , таке, що 
. Назвемо всяке таке розкладання радикальним розкладанням простору . Очевидно, визначається не єдиним образом, за винятком випадків, коли регулярно або цілком вироджене.Зі співвідношень
треба рівність
, тому регулярно.Теорема 19 Якщо
- регулярний знакозмінний простір розмірності 
, те 
Зокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірність і дискримінант
. Крім того, регулярні знакозмінні простори однакової розмірності над тим самим полем 
ізометричні.Доказ. Через регулярність простору
існують вектори й 
, що задовольняють умові 
. Тому що 
, те ці вектори повинні бути незалежними; тому 
- площина. Очевидно, 
Зокрема,
регулярно, тому що дискримінант відмінний від нуля. Отже, через 17 . Але - також регулярний знакозмінний простір. Перше твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого. Для доказу третього твердження застосовуємо 7. Теорема доведена.База
регулярного знакозмінного простору називається гіперболічної, якщо 
і сімплектичною, якщо