Дискримінантом

векторів

у знакозмінному просторі

називається визначник

Зокрема, якщо

- база простору

й

у цій базі, те

Якщо

- інша база, то співвідношення

показує, що

для якогось

із

. Отже, канонічний образ елемента

в

не залежить від бази; він називається дискримінантом знакозмінного простору

й позначається через

. Тут множина

визначається очевидним образом: беремо

, приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо, що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис

, де

, буде позначати, що

дорівнює канонічному образу елемента

в

або, інакше кажучи, що

має базу

, для якої

. Якщо

, то думаємо

.
Приклад 9Розглянемо знакозмінний простір

зі знакозмінною формою

. Нехай

- його база, а

- сполучена база сполученого простору

. Нехай

в.

Тоді

. Легко бачити, що матриця лінійного перетворення

, певного раніше, щодо баз

і

дорівнює

; дійсно, якщо

, те

Аналогічно матриця перетворення

щодо баз

і

дорівнює

.
Пропозиція 10 Будь-які

векторів

знакозмінного простору

, такі, що

, лінійно незалежно.
Доказ. Залежність

спричиняє

для

. Це означає залежність між рядками матриці

, що неможливо, тому що дискримінант не дорівнює 0.
Пропозиція11 Наступні твердження для знакозмінного простору

рівносильні:

,

,

,

біективно,

біективно.
Доказ. Можна вважати, що

. Зафіксуємо базу

простору

, і нехай

- сполучена база. Нехай

в.

Через 9
тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі
так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).
Визначення 12Знакозмінний простір

називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов Пропозиція11. Знакозмінний простір

називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо

.
Якщо

, то

регулярно. Якщо

, то через Пропозиція11 і 12