Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 4 из 18)

Уявлення знакозмінного простору

в знакозмінний простір (обоє над полем і з формами, позначуваними через ) є по визначенню лінійне перетворення простору в , таке, що для всіх , . Інвективне уявлення називається ізометрією в. Простору й називаються ізометричними, якщо існує ізометрія на . Нехай позначає уявлення, - ізометрію ``в'', а або - ізометрію ``на''. Очевидно, що композиція дві ізометрії - ізометрія й перетворення, зворотне до ізометрії, - також ізометрія. Зокрема, множину ізометрій простору на себе є підгрупою загальної лінійної групи абстрактного векторного простору ; вона називається симплектичною групою знакозмінного простору й позначається через . Для будь-якого ненульового елемента з маємо .

Пропозиція.7 Нехай

- лінійне перетворення знакозмінного простору в знакозмінний простір . Припустимо, що існує база простору , така, що для всіх , . Тоді - уявлення.

Доказ. Це тривіально треба з визначень.

Кожному знакозмінному простору

зі знакозмінною формою зіставимо відображення й простори в сполучений простір ( розглядається як абстрактний векторний простір над ). По визначенню відображення зіставляє довільному елементу з лінійний функціонал , певний формулою , а переводить в. Легко перевіряється, що і є лінійними перетвореннями.

- матриця над називається косо симетричною, якщо , і знакозмінної, якщо й на головній діагоналі коштують нулі. Таким чином, знакозмінні матриці є косо симетричними. Обернено, косо симетричні матриці є знакозмінними, якщо характеристика поля не дорівнює . Розглянемо знакозмінний простір . Ми можемо асоціювати з базою простору матрицю, у якої на місці коштує . Назвемо матрицею знакозмінного простору в базі й будемо писати

Якщо існує хоча б одна база, у якій

має матрицю , то будемо писати . Матриця , асоційована зі знакозмінним простором зазначеним способом, є, мабуть, знакозмінної. Що відбувається при зміні бази? Припустимо, що в базі й - матриця переходу від першої бази до другого, тобто . Тоді звідки видно, що зміна матриці простору при зміні бази описується співвідношенням .

Якщо

- абстрактний векторний простір з базою й - довільна знакозмінна - матриця над , то існує єдиний спосіб перетворити в знакозмінний простір, таке, що в , а саме, покласти , де - елемент, що стоїть в матриці на місці .Пропозицію 8 Припустимо, що - знакозмінний простір, - його база й в. Тоді матричний ізоморфізм, певний базою , відображає на групу всіх оборотних - матриць над , що задовольняють співвідношенню