Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 3 из 18)

Якщо

- непуста підмножина групи й те й . Елемент називається перестановочним з підмножиною , якщо . Рівність означає, що для будь-якого елемента існує такий елемент , що . Якщо елемент перестановочний з підмножиною , то й . Сукупність всіх елементів групи , перестановочних з підмножиною , називається нормалізатором підмножини в групі й позначається через . Отже,

5. Нехай

- непуста підмножина групи , - довільний елемент групи . Тоді:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5) якщо

- підгрупа групи , те .

Підгрупа

називається нормальною підгрупою групи , якщо для всіх . Запис читається: " - нормальна підгрупа групи ". Рівність означає, що для будь-якого елемента існує елемент такий, що .

Теорема. 6 Для підгрупи

групи наступні твердження еквівалентні:

1)

- нормальна підгрупа;

2) підгрупа

разом з кожним своїм елементом містить всі йому сполучені елементи, тобто для всіх ;

3) підгрупа

збігається з кожною своєю сполученою підгрупою, тобто для всіх .

Нехай

- підгрупа групи . Тоді:

1)

;

2) якщо

й , те ;

3)

- найбільша підгрупа групи , у якій нормальна;

4) якщо

, те . Обернено, якщо , те ;

5)

для будь-якої непустої підмножини групи .

У кожній групі

тривіальні підгрупи (одинична підгрупа й сама група ) є нормальними підгрупами. Якщо в неодиничній групі немає інших нормальних підгруп, то група називається простій. Одиничну групу вважають непростий.

4. Ізометрії

Знакозмінні простори

Векторний простір

над полем називається знакозмінним, якщо на ньому задана знакозмінна білінійна форма , тобто відображення з наступними властивостями:

для всіх

, , з і всіх з . Відзначимо наслідок цих співвідношень: . Якщо - знакозмінна форма й - довільний елемент із , то відображення , певне формулою , і складний об'єкт, що є вихідним векторним простором із цією новою формою , буде знакозмінним простором, що ми позначимо через .