Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 2 из 18)

- нормалізатор підгрупи в групі ;

- центр групи ;

- циклічна група порядку ;

Якщо

, то .

Якщо

, , то .

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов, позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

- клас всіх груп;

- клас всіх розв'язних груп.

3. Основні поняття

Групою називається непуста множина

з бінарною алгебраїчною операцією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:

1) операція визначена на

, тобто для всіх ;

2) операція асоціативна, тобто

для будь-яких ;

3) в

існує одиничний елемент, тобто такий елемент , що для всіх , що для всіх ;

4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного

існує такий елемент , що .

Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.

Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо

- кінцева множина, що є групою, то називають кінцевою групою, а число елементів в - порядком групи .

Підмножина

групи називається підгрупою, якщо - група щодо тієї ж операції, що визначена на . Запис означає, що - підгрупа групи , а - що - власна підгрупа групи , тобто й .

Теорема 1 Непуста підмножина

групи буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли й для всіх .

Нехай

- непуста підмножина групи . Сукупність всіх елементів групи , з кожним елементом множини , називається централізатором множини в групі й позначається через .

Лема 2 1. Якщо

- підмножина групи , то централізатор є підгрупою.

2. Якщо

й - підмножина групи й , то .

3. Якщо

- підмножина групи й , то .

Центром групи

називається сукупність всіх елементів з , з кожним елементом групи. Центр позначається через . Ясно, що , тобто центр групи збігається із централізатором підмножини в групі . Крім того, .

Зафіксуємо в групі

елемент . Перетинання всіх підгруп групи , що містять елемент , назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом , і позначимо через .

Теорема 3 Циклічна підгрупа

, породжена елементом , складається із усіляких цілих ступенів елемента , тобто .

Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.

Нехай

- елемент групи . Якщо всі ступені елемента різні, тобто для всіх цілих , то говорять, що елемента має нескінченний порядок.