Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 17 из 18)

3) Ми можемо, таким чином, уважати, що всі прямі з

попарно ортогональні. Міркування, використані в п.2), показують тоді, що якщо - довільна пряма з , те містить всі прямі, ортогональні до , а це неможливо. Пропозиція доведена.

10. Основні результати

Нехай

- кінцева група, і - підгрупи групи . Будемо говорити, що група допускає факторізацію , якщо для всякого має місце рівність , де , . Факторізація називається максимальної, якщо й максимальні підгрупи в групі . Ми розглянемо максимальні факторізації симплектичної групи , певної над кінцевим полем .

Нехай

і - цілі числа, , . Якщо - просте число, що ділить і не ділить числа для , то називають примітивним простим дільником числа .

Добре відомо, що при

, і завжди є примітивний простий дільник числа . Нехай , де - просте число, - ціле позитивне число. Позначимо найбільший примітивний простий дільник числа (так, що ділить і не ділить для ). Визначимо як добуток всіх примітивних простих дільників . Ми будемо розглядати максимальні факторізації групи . Відзначимо, що

Теорема. 49Нехай

, де - непарне число. Якщо , де й - максимальні підгрупи групи , тоді , де - максимальна параболічна підгрупа групи , ізоморфна й, яка має порядок

Доказ. Припустимо, що

ділить . Із [6] треба, що є однієї з наступних груп , , або . Нехай спочатку . У цьому випадку . Із [6] треба, що це в точності максимальна параболічна підгрупа групи й . З порівняння порядків групи й добутки одержуємо наступну максимальну факторізацію:

Нехай тепер

є однієї з наступних груп , або . Із сказаного вище випливає, що не ізоморфно . З пункту 2.4 [7] одержимо, що є або . По теоремі 2.4D [7] є 3 або 7. Якщо , тоді 5 ділить . У цьому випадку із [6] треба, що одна із груп , , . Оскільки , те ділить . Однак не ділиться на . Протиріччя з тим, що . Отже, і . Тому що 27 ділить , то є параболічною підгрупою групи й має місце факторизация: