Пропозиція 46 Якщо

й

- нормальна підгрупа групи

, те

або

, за винятком групи

, що, мабуть, не має цю властивість.
Доказ. Із приводу виключення див. 43. Далі, застосовуючи до

теорему 45, одержимо, що

або

. Допустимо останнє. Тоді

Пропозиція доведена.
Теорему про простоту можна також довести, використовуючи групи підстановок. Нагадаємо, що групою підстановок непустої множини

називається підгрупа

групи всіх підстановок множини

. Далі,

називається транзитивної, якщо для будь-яких

,

існує така підстановка

з

, що

. Нагадаємо, що розбивкою множини

називається множина

попарно непересічних підмножин, об'єднання яких дорівнює

. Тривіальними називаються дві розбивки, що складаються відповідно із самого

й із всіх одноелементних підмножин. Транзитивна група

підстановок множини

, якщо існує така нетривіальна розбивка

множини

, що

для всіх

,

. У противному випадку група називається примітивної. Наступний результат є тут ключовим.
Пропозиція 47 Примітивна група підстановок

множини

проста, якщо виконані наступні умови:
1)

,
2) для якогось

стабілізатор

містить таку нормальну абелеву підгрупу

, що

породжується підгрупами

,

.
Для доказу теореми 45 з використанням цього результату розглянемо

як групу підстановок множини прямі

простори

. Це можливо через те, що

, будучи підгрупою групи проективностей простору

, точно діє на

й, виходить,

природно ізоморфна групі підстановок множини

. Ми знаємо, що група

транзитивна (теорема Витта),

(див. 44) і, нарешті, множина проективних трансвекцій із

із прямій

разом з тотожним перетворенням утворить нормальну абелеву підгрупу стабілізатора прямій

в

, що разом зі своїми сполученими в

породжує групу

. Тому все, що залишилося зробити, перш ніж послатися на 47, - це перевірити, що група

примітивна.
Пропозиція 48 При

група

підстановок множини

прямі простори

примітивна.
Доказ.1) Розглянемо розбивку

множини

, що містить принаймні дві підмножини, одне із яких, скажемо

, містить не менш двох прямих. Нам потрібно знайти елемент групи

, що не зберігає цю розбивку. Допустимо, що такого елемента не існує.
2) Нехай спочатку

містить дві різні не ортогональні прямі

,

. Тоді кожні дві різні прямі

,

з

повинні бути не ортогональні. Справді, якщо це не так, то найдуться різні

,

з

, такі, що

. Візьмемо пряму

з

, не приналежній підмножині

. Якщо

, то по теоремі Витта існує таке перетворення

з

, що

,

, і, отже, воно порушує розбивку. Якщо

, то знову по теоремі Витта є таке

, що

,

і, виходить,

знову порушує розбивка. Отже, ніякі дві різні прямі з

не є ортогональними. Тільки що проведені міркування показують, що якщо

- довільна пряма з

, те

містить всі прямі з

, не ортогональні к.

Тепер очевидно, що можна знайти в

пряму

, не ортогональну до

, але ортогональну до

тоді перша умова спричиняє, що

, а друге - що

, - протиріччя.