Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 15 из 18)

Сполучення дає нам у

лінійні перетворення з матрицями

а тому й з матрицями

а виходить, і з матрицею

Інакше кажучи,

містить і, отже, всі трансвекції з , звідки .Пропозиція 43 Якщо , те за одним виключенням: .Доказ. Нехай , для якогось . По теоремі Витта існує таке , що - площина й

Покладемо

Залишилося застосувати 41 й 42. У винятковому випадку застосовуємо 36 й добре відомі властивості групи

.

Пропозиція 44 Якщо

, те за одним виключенням: .

9. Теореми про простоту

Теорема 45 Для будь-якого парного числа

й кожного поля група проста за винятком групи , що простій не є.

Доказ.1) Виняткове поводження групи

треба з 44. Будемо припускати тому, що в загальному випадку й при . Замість проективної групи ми будемо мати справу із групою . Досить розглянути нормальну підгрупу групи , що не втримується в підгрупі , і довести, що .

2) Спочатку покажемо, що є

, , такі, що - регулярна площина. Для цього візьмемо в групі елемент. зрушує принаймні одну пряму з , тобто існує така пряма з , що . Нехай - нетривіальна трансвекция із із прямій . Тоді елемент належить групі і є добутком двох трансвекцій із із різними прямими й . Тому простір перетворення є площина , зокрема, . Якщо - гіперболічне перетворення, то - інволюція. Застосуємо тепер твердження 1.18, якщо характеристика дорівнює , і твердження 1.13, якщо характеристика не дорівнює . Тоді, зокрема, ми одержимо, що не є добутком трансвекції з , що суперечить допущенню. Отже, не може бути гіперболічним. Виходить, існує такий вектор , що , тобто - регулярна площина.

3) Можна також показати, що є вектор

і перетворення , такі, що - вироджена площина. Справді, візьмемо в елемент . Існує такий вектор , що .

Якщо

, то ціль досягнута, тому будемо вважати, що .

Виберемо

так, щоб було

По теоремі Витта в

найдеться перетворення , таке, що , . Тоді перетворення належить і переводить в , тому - вироджена площина.

4) Візьмемо

, так, щоб площина була регулярної при й виродженій при . Тоді перетворення

належить групі

, є добутком двох трансвекцій з і його простір є площина . Тому .