Пропозицію 41 Припустимо, що

,

,

і нехай

- нормальна підгрупа групи

, що містить регулярний елемент

із відрахуванням

, у вигляді добутку двох трансвекцій з

. Тоді

.
Доказ. Маємо розкладання

, де

- регулярна площина. Розглянемо групу

Тоді

. Крім того,

. Це очевидно, якщо

; якщо ж

, те застосовуємо 2.1.12 і теорему 2.1.11 [6]. Тому

- нормальна підгрупа в

, що не втримується в.

Звідси треба, що

. Зокрема, якщо

- фіксована пряма в

, те

містить всі трансвекції площини

з прямій

. Отже,

містить всі трансвекції із

із прямій

, а тому в силу 38 взагалі всі трансвекції з

і

.
Пропозицію 42 Припустимо, що

,

або

,

, і нехай

- нормальна підгрупа групи

, що містить елемент

із відрахуванням 2, у вигляді добутку двох трансвекцій з

. Тоді

.
Доказ.1) Модифікація міркувань, використаних при доказі твердження 41, дозволяє вважати, що

, якщо

, і

, якщо

.
2) Розглянемо спочатку випадок

,

. Тоді

має вигляд

, причому

, а зірочки рівні

. Далі ці трансвекції перестановочні, тому що

, тому ми можемо, якщо потрібно, замінити

на

й уважати, що насправді

. Можна вважати, що ця нова

є

. Справді, якщо

, те за допомогою теореми Витта виберемо таке

, що

,

. Тоді

. Замінимо тепер

на

. Отже, можна вважати, що

. Доповнимо

до симплектичної бази

простору

й помітимо, що

Підходящим сполученням ми можемо знайти в

лінійні перетворення з матрицями

у базі

. Добуток цих перетворень дорівнює елементу із

із матрицею

Отже, група

містить

. Таким чином, вона містить всі (= обидві) трансвекції із

із прямій

. Через 38 звідси треба, що

містить всі трансвекції з

і, виходить,

.
3) Нехай тепер

,

. Тоді

й

. Доповнимо

до симплектичної бази

Тоді