Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 12 из 18)

Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група

ізоморфна групі . Доведемо перше твердження індукцією по . Якщо , то й можна вважати .

Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів

, , таку, що . Якщо фіксовано, то існує єдина пара , де належить даній прямій, не ортогональної к. Тому число пар з на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в , тобто

Таким чином, є

пара з на першому місці, а всього пара.

Зафіксуємо яку-небудь пару

. По теоремі Витта для кожної пари найдеться принаймні один елемент групи , що переводить в. Отже, є точно

елементів з

, що переводять пари в парі . По припущенню індукції це число дорівнює

Далі, кожний елемент групи

переводить точно в одну пару. Отже, група містить

елементів, що й було потрібно довести.

Пропозиція 34Якщо

, те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору дорівнює

Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа

групи , що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір простору , має порядок

Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу

простору

, у якій вектори породжують . Із 23 треба, що матриця довільного перетворення має вигляд

де

, а - симетрична матриця порядку над ; ці й визначаються перетворенням однозначно. Крім того, будь-які такі й відповідають якомусь із . Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи на число симетричних матриць порядку над полем , тобто .

2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір

простору . По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору даються формулою , де пробігає групу . Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно

раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи

, діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.

Пропозиція 35 Якщо

, те число регулярних площин у просторі дорівнює

Доказ. Надходячи, як при доказі твердження 34, переконаємося, що

повинне містити

регулярних площин. Це число збігається із зазначеним вище (застосувати теорему 33).

Пропозиція 36 Група

ізоморфна симетричній групі .

Доказ. Будемо називати конфігурацією довільна підмножина

з елементів в - мірному регулярному знакозмінному просторі над полем , що володіє тим властивістю, що будь-які два його різних елементи не ортогональні. Кожний ненульовий вектор з належить рівно двом конфігураціям і , так що вони перетинаються по . Щоб переконатися в цьому, візьмемо симплектическую базу простору , у якій . Ясно, що