Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 11 из 18)
Пропозиція. 28 Централізатор у
будь-якого елемента з , що не є розтяганням, абелев.Нехай тепер
- регулярний знакозмінний простір. Тоді 
буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору . Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору ми будемо розуміти довільну підгрупу з . Група 
, одержувана із застосуванням гомоморфізму 
, називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору . Під проективною групою симплектичних перетворень простору будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .Пропозиція 29 Якщо
- ненульовий регулярний знакозмінний простір, те 
Доказ є легкою вправою й тому опускається.
Пропозиція 30 Якщо
- регулярний знакозмінний простір і 
, те 
.Доказ. Взявши симплектичну базу простору
, за допомогою 8 без праці переконуємося, що елемент 
із тоді й тільки тоді лежить в 
, коли 
.Полярністю абстрактного векторного простору
над полем 
називається біекция 
, 
, така, що1) 
,2) 
для всіх 
, 
з 
. Якщо - регулярний знакозмінний простір над , те, мабуть, 
- полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою 
, наявної на .Пропозиція 31 Нехай
- абстрактний векторний простір над полем і 
. Припустимо, що - регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм 
і 
. Форми й тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент 
із , що 
.Доказ. Якщо
, то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що регулярно відносно й , те через Пропозиція11 і 12 асоційовані лінійні відображення 
й 
біективні, тобто 
й . З 16 і припущення про те, що й визначають ту саму полярність, треба, що 
для всіх підпросторів з . Отже, 
- елемент групи 
, щодо якого інваріантні всі підпростори з , Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з . Виходить, через 27 
. Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент із , що 
для всіх 
з . Але тоді 
для всіх з . Тому .6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп
Пропозиція 32 Якщо поле
нескінченно, те групи 
, 
над також нескінченні.Доказ. Число трансвекцій
з нескінченно.Теорема 33 Порядок групи
дорівнює 
Порядок групи
дорівнює