Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 10 из 18)

Очевидно, що композиція проективностей - проективність і відображення, зворотне до проективності, - також проективність. Проективність простору

на зберігає порядок, об'єднання, перетинання й ряди Жордана - Гельдера для елементів просторів і , що тому справедливо випливає пропозиція.

Пропозиція 26 Якщо

- проективність простору на , те для будь-яких елементів , з виконуються співвідношення

Зокрема,

відображає на й визначається своїми значеннями на , тобто на прямих.

Якщо

- геометричне перетворення, то відображення , отримане зі звуженням, є проективністю простору на . Усяка проективність , що має вид для деякого такого , буде називатися проективним геометричним перетворенням простору на . Чортові ми будемо завжди використовувати для позначення проективного геометричного перетворення , отриманого описаним способом з геометричного перетворення . Таким чином, переводить підпростір простору , тобто крапку з , у підпростір простору . Маємо

Зокрема, композиція проективних геометричних перетворень і перетворення, зворотне до проективного геометричного, самі є проективними геометричними.

Геометричне перетворення простору

є по визначенню геометричне перетворення простору на себе. Множина геометричних перетворень простору є підгрупою групи підстановок множини . Вона буде позначатися через і називатися загальною геометричною групою простору . Під групою геометричних перетворень простору ми будемо розуміти довільну підгрупу групи . Загальна лінійна група й спеціальна лінійна група є, отже, групами геометричних перетворень. Під групою лінійних перетворень будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .

Проективність простору

є по визначенню проективність цього простору на себе. Множина проективностей простору - підгрупа групи підстановок множини , що ми будемо називати загальною групою проективностей простору . Застосування риси індуцирує гомоморфізм

Іноді ми будемо використовувати

замість , думаючи для образа підмножини із при . Зокрема, і - підгрупи групи проективностей простору , вони називаються проективною загальною лінійною групою й проективною спеціальною лінійною групою простору .

Було доведено, що

збігається із групою всіх проективностей простору , тому ми використовуємо це позначення для обох груп. Під групою проективностей простору будемо розуміти будь-яку підгрупу групи , а під проективною групою лінійних перетворень простору - будь-яку підгрупу групи .

Для кожного ненульового елемента

з визначимо лінійне перетворення , думаючи Ясно, що . Перетворення з виду для якогось будемо називати розтяганням простору .

Множина розтягань простору

є нормальною підгрупою групи , що буде позначатися через . Очевидно, має місце ізоморфізм . Мають місце наступні дві пропозиції.

Пропозиція 27 Елемент

групи тоді й тільки тоді належить групі , коли для всіх прямих з . Зокрема,