Типовой расчет (стр. 4 из 4)
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности
, 
и 
, по формуле:
где: ki –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, mi – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
== 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.
Отсюда, по формуле Байеса получим:
.Ответ:
.11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз.
Дано: n = 5, m = 3.
Решение.
Испытание состоит в бросании монеты.
Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:
Отсюда, искомая вероятность равна:
Ответ: 0,2187.
12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2 – мелкий выигрыш, и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша
. Куплено n билетов.Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
Дано: n = 14, n1 = 2, n2 = 4, р1 = 0,2, р2 = 0,2.
Решение.
Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.
Рассмотрим события:
Событие А1 – выпал крупный выигрыш.
Событие А2 – выпал мелкий выигрыш.
Событие А3 – билет оказался без выигрыша.
Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,2, р2 = 0,2, р3 = 1 - 0,2 – 0,2 = 0,6.
Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:
Отсюда:
Ответ:
.13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р .
Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k1 ≤ m.
Дано:n = 100, p = 0,8, k1 = 70.
Решение.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
,где: Ф(х) – функция Лапласа,
, 
По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2 , k1 = 70, k2 = 100. Вычислим х` и x``:
, 
Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = - Ф(х), получим
По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.
Искомая вероятность равна:
Р100(
) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.Ответ: 0,9938.
14. Дана плотность распределения 
случайной величины Х.
Найти параметр γ, функцию распределения
случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2< x < 0.Решение.
Воспользуемся свойством плотности распределения:
.В данном случае:
, так как 
при 
. Тогда: 
То есть:
Тогда получим две функции плотности распределения:
Контроль:
Функцию распределения
случайной непрерывной величины Х найдём по формуле: 
где:
- функция плотности распределения вероятностей на трёх интервалах.1) При
имеем: 
2) При
исходный интеграл разобьем на два интеграла: 
3) При
исходный интеграл разобьем на три интеграла: 
Таким образом, функция распределения
примет вид: 
б) Математическое ожидание находим по формуле:
Применяя формулу, получим:
в) Найдём дисперсию случайной величины Х :
Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины Х по формуле:
Тогда дисперсия
Определяем вероятность выполнения неравенства -2 < x < 0:
Ответ:
, 
М(х) = -2, D(x) = 0,3333,
.