Типовой расчет (стр. 3 из 4)
,где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.
При наступлении события Н1 во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н1 имеем:
m1 = 55, a n = 62, отсюда
При наступлении события Н2 во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н2 имеем:
m2 = 54, a n = 62, отсюда
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756
Ответ: Р(А) = 0,8756.
9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.
Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.
Пусть событие А - все 2 марки - чистые.
Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;
Событие Н2 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;
Событие Н3 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.
Так как события Н1, Н2, Н3 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
Определяемвероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:
,где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок -
способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:n =
Находим вероятность гипотезы Н1 2 чистые марки из 7 можно выбрать
способами, а 0 гашенных из 5 - 
способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теорему умножения, будет равно:m =
× = 
Отсюда, вероятность события Н1 равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3:
Для события Н2 имеем:
m2=
× 
= 
Отсюда, вероятность события Н2 равна:
Для события Н3 имеем:
m3=
× 
= 
Отсюда, вероятность события Н3 равна:
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности
, 
и 
с помощью классического определения вероятности: ,где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.
При наступлении события Н1 в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н1 имеем: m1 =
- число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n = 
- число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12.Отсюда
При наступлении события Н2 в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н2 имеем: m2 =
- число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12.Отсюда
При наступлении события Н3 в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н3 имеем: m3 =
- число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12.Отсюда
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.
Ответ: Р(А) = 0,217.
10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет mi% изделий. Среди изделий i–го завода ni % - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?
Дано: m1= 60%, m2= 10%, m3= 30%, n1 = 80%, n2 = 90%, n3 = 80%, j = 3.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.
Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.
Рассмотрим гипотезы:
Событие H1 – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.
Событие H2 – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.
Событие H3 – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.
По условию задачи необходимо найти вероятность события Н3|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.
Так как события H1, H2 и H3 образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события
воспользуемся формулой Байеса: 
,где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:
Определяемвероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:
,где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Для события Н1 имеем: m1 = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н1 равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3.
Для события Н2 имеем: m2 = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н2 равна:
Для события Н3 имеем: m3 = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н3 равна:
