Типовой расчет (стр. 2 из 4)

Отсюда:

.

Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.

5. В двух партиях К₁ и К₂ % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное.

Дано: К₁ = 39%, К₂ = 78%.

Решение.

Обозначим события:

Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этих событий соответственно равны: р₁ = 0,39 и р₂ = 0,78.

а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотрим противоположное событие

- среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события находим, используя теорему умножения:

Р(

) = р₁ · р₂ = 0,39 · 0,78 = 0,3042

Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:

Р(С) = 1 - Р(

) = 1 – 0,3042 = 0,6958.

б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события D находим, используя теорему умножения:

Р(D) = q₁ · q₂ = (1 - р₁) · (1 - р₂) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.

в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие

- из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:

Е =

+

или Р(Е) = Р(

) + Р( )

Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:

Р(Е) = р₁ · q₂ + q₁ · р₂ = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616

Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P₁ = 0,39, а вторым стрелком - P₂ = 0,45. Первый стрелок сделал n₁ = 3 выстрелов, а второй стрелок – n₂ = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие А₁ – первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие А₂ - второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:

q₁ = 1 - p₁ = 1- 0,39 = 0,61,

а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q₂ = 1 - p₂ = 1- 0,45=0,55.

Тогда вероятность событий А₁ и А₂ находим по формуле Бернулли:

Тогда:

Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:

Р(А) = Р(А₁)×Р(А₂) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.

Ответ: 0,0687.

7. Из

ламп n_i принадлежат i^-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Дано: n₁ = 620, n₂ = 190.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – выбранная лампа принадлежит 1^-й партии,

Событие Н₂ – выбранная лампа принадлежит 2^-й партии,

Событие Н₃ – выбранная лампа принадлежит 3^-й партии.

Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяемвероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

Для события Н₁ имеем: m₁ = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃.

Для события Н₂ имеем: m₂ = 190, n =1000.

Для события Н₃ имеем: m₃ = 1000 - m₁ – m₂ = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности

, и , по формуле:

где: k_i – число процентов бракованных ламп в i^-й партии. Тогда

Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=

= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.

Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N₁ белых и M₁ чёрных шаров, во второй N₂ белых и M₂ чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Дано: N₁ = 20, M₁ = 1, N₂ = 40, M₂ = 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А - выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;

Событие Н₂ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н₁, Н₂ образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяемвероятности гипотез Н₁, Н₂ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

В первой урне находится (N₁ + M₁) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть

n =

Находим вероятность гипотезы Н₁. 15 белых шаров из 20 можно выбрать

способами, а 0 чёрных из 1 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н₁, используя теорему умножения, будет равно:

m =

× =

Отсюда, вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂.

Для события Н₂ имеем:

m₂=

× =

Отсюда, вероятность события Н₂ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂ соответственно наступили, то есть вероятности

, с помощью классического определения вероятности: