Основные понятия математического анализа (стр. 4 из 4)
Рассмотрим уравнение:
.Его решением будет корень n–ой степени из комплексного числа z:
.Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме:
z=r(cos
+isin ), то корень n-ой степени от z находится по формуле: 
, где к=0,1…n-1. Числовые ряды
Пусть переменная а принимает последовательно значения а1,а2,а3,…,аn. Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.
Числовым рядом называется выражение а1+а2+а3+…+аn+…=
. Числа а1,а2,а3,…,аn – члены ряда.Например.
а1 – первый член ряда.
аn – n-ый или общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).
Числовой ряд имеет бесконечное число членов.
Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).
n-ый член находится по формуле
аn=а1+d(n-1); d=аn-аn-1.
Знаменатель – геометрическая прогрессия.
bn=b1qn-1;
.Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.
Sn=а1+а2+…+аn.
Sn – n-ая частичная сумма ряда.
Рассмотрим предел:
S - сумма ряда.
Ряда сходящийся, если этот предел конечен (конечный предел S существует).
Ряд расходящийся, если этот предел бесконечен.
В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.
Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.
, C=const.Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, если
, и расходящимся, если 
.Также встречается гармонический ряд (ряд
). Этот ряд расходящийся.Свойства числовых рядов
1. Если сходится а1+а2+а3+…+аn+…=
, то сходится и ряд аm+1+аm+2+аm+3+…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.2. Если ряд а1+а2+а3+… сходится и его сумма равна S, то ряд Са1+Са2+…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.
3. Если ряды а1+а2+… и b1+b2+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а1+b1)+(а2+b2)+(а3+b3)+… и (а1-b1)+(а2-b2)+(а3-b3)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.
4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).
- необходимый признак (условие) сходимости ряда.б). Если
то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда. 
-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.Знакоположительные ряды
Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.
1. Первый признак сравнения.
Пусть даны два знакоположительных ряда а1+а2+а3+…+аn+…=
(1) и b1+b2+b3+…+bn+…= 
(2).Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. аn 
bn и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.
Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. аn 
bn и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.
Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.
2. Второй признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. 
-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.3. Признак Даламбера
Если для знакоположительного ряда (а1+а2+а3+…+аn+…=
) существует 
(1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым. 
4. Признак Коши радикальный
Если для знакоположительного ряда существует предел
(2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.
5. Признак Коши интегральный
Вспомним несобственные интегралы.
Если существует предел
. Это есть несобственный интеграл и обозначается 
.Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.
Пусть ряд а1+а2+а3+…+аn+…=
- знакоположительный ряд.Обозначим an=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Если ряд конечен, то он сходится.
Очень часто встречаются ряды
- ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.
Пусть задан знакопеременный ряд а1+а2+а3+…+аn+…=
(1) (члены как + так и -).Возьмем ряд
(3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).
Если ряд (3) расходится, а:
- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;
- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.
При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.
При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится.
Схема
Если (3) – сходится
(1) - сходится абсолютно.Если (3) – расходится
При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов.
Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный, то расходится не только ряд (3), но и ряд (1).
Если ряд – знакочередующийся, то для него дается еще один признак сходимости:
Признак Лейбница
Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn
0) выполняются условия:1. b1
b2 b3 b4…;2.
, - то данный ряд сходится условно.