Проценты и их применение (стр. 2 из 3)
первоначальный вклад – 2000
процент годовых - 12
n – 6 лет, значит
2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65
ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..
Вывод: решила задачу, применив новое свойство нахождения процентов по формуле сложных процентов.
Задача 7 (ЕГЭ 2006год)
После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?
Решим эту задачу по формуле сложных процентов – х (1-0,01а)n
Получим:
400*(1-0,01а)2=324
20(1 – 0,01а) = 18
1 – 0,01а = 0,9
а = 10
ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%
Задача 8(ЕГЭ 2006год)
По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами: 1)по действиям
2)по формуле сложных процентов
Решение:
1)узнаем доход за первый год
80000*0.12=9600руб.
2)найдем сумму на счете после первого года
80000+ 9600= 89600руб.
3)определим доход за второй год
89600* 0,12= 10752 руб.
4)узнаем конечную сумму на счете
10752 + 89600= 100352руб.
5)найдем доход после двух лет
100352- 80000= 20352 руб.
ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб.
Эту же задачу решим по формуле банковских процентов: х(1 + 0,01а)n
Пусть: х – 80000 – начальный вклад
а – 12% годовых
n – 2 года, получим:
80000(1+ 0,12)2 = 80000 * 1,122 = 100 352 руб.
Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.
100352 – 80000 = 20 352руб.
ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 29 352 руб.
Вывод: решила задачу двумя способами, доказав, что проще и быстрее решить задачу по формуле сложных процентов, а не по действиям.
Задача 9(ЕГЭ 2006год)
Банк предлагает клиентам два вида вкладов. Первый «До востребования» со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается на 10% от суммы, имеющиеся на счету клиента в момент начисления. Второй вклад «номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждые из указанных счетов, через два года оказались снова равными?
Решение:
Решим эту задачу уравнением, применяя форму банковских процентов.
Пусть: х – начальный вклад; тогда через 6 месяцев сумма на счете будет равна
х*х+0,1=х(1+0,1);
через год сумма будет
х(1+0,1)+х(1+0,1)*0,1= х(1+0,1)2;
Тогда через два года сумма будет равна х(1+0,1)4
Сумма вклада «Номерной» через два года, после двух начислений равна х(1+0,01х)2
Получим уравнение:
х(1+0,01х)2 = х(1+0,1)4
1+0,01х=(1+0,1)2
100+х = 1102
100 100
100+х = 12100
100
100+х=121
Х=21%
ОТВЕТ: банк должен начислять 21% годовых, по «номерному» вкладу.
Вывод: решила задачу, применив свойство сложных процентов.
Задача 10 (ЕГЭ 2006год)
Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 20%, в другом через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать ценны товара через каждые два месяца во втором магазине?
Решение:
Решим эту задачу с помощью формулы сложных процентов: х(1+0,01а)n
Пусть: х – начальная цена, тогда, через месяц, после первого понижения, в первом магазине, цена на товар будет равна х(1-0,2) после второго понижения х(1-0,2)2;
Тогда, через полгода (после шести понижений) цена будет равна х(1-0,2)4
Цена товара, во втором магазине после трех понижений на а% будет равна
х(1-0,01а)2 Получаем уравнение:
х(1-0,01а)2= х(1-0,2)4
1 – а = (100- 20)2
100 1002
100 – а = 80
100 1002
100 – а = 64
а = 36%
ОТВЕТ: на 36% надо снижать цены во втором магазине.
Задача 11 (ЕГЭ 2006 год)
В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако с связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата сотрудника была равна той, которую он получил бы в режиме повышения, предусмотренной договором?
Решение:
Для решения составим таблицу:
| Через какое время повышается | на сколько % повышается | Какая зарплата будет |
| Через каждые 3 месяца | 2% | х(1+0,02)4 |
| Через каждые полгода | а% | х(1+0,01а)2 |
По таблице составим уравнение:
х(1+0,02)4 = х(1+0,01а)2
(1+0,02)2 = (1+0,01а)
1022 = 100+а
1002 100
а = 4,04%
ОТВЕТ: через каждый полгода зарплату сотрудникам надо поднимать на 4,04%
4. Применение процентов в жизни
4.1 Исследование бюджета семьи
Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я покажу это на примере бюджета моей семьи.
| Порядковый номер | члены семьи | сумма | в % |
| 1 | Папа – Воронцов Сергей Витальевич | 6000рублей | 43% |
| 2 | Мама – Воронцова Ирина Николаевна | 8000рублей | 57% |
| Итого | 14000рублей | 100% |
При составлении семейного бюджета я использовала правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентный доход в бюджет каждого из родителей.
Вычисления:
Для того чтобы найти в процентах зарплату, надо сумму умножить на 100 и разделить на 14000.
1) 6000*100 = 43%;
14000
2) 8000* 100 = 54%
14000
Вывод: составила бюджет своей семьи, применила свойство нахождения процентов от числа и представила данные в виде диаграммы.
Распределение семейного бюджета
Чтобы наглядно увидеть распределение семейного бюджета я составила таблицу.
| №п\п | Расход | сумма | в % | |
| 1 | Коммунальные услуги | 800руб | 6% | |
| 2 | Плата за электроэнергию | 500руб | 4% | |
| 3 | Плата за услуги телефона (домашний) | 300руб | 2% | |
| 4 | Плата за услуги сотовых телефонов | 300руб | 2% | |
| 5 | Питание | 5500руб | 39% | |
| 6 | Одежда | 4000руб | 29% | |
| 7 | Расходы на лекарство | 500руб | 4% | |
| 8 | Моющие средства | 200руб | 1% | |
| 9 | Покупка корма для скота | 200руб | 1% | |
| 10 | Транспортные средства | 1000руб | 7% | |
| 11 | Плата за садик | 500руб | 4% | |
| 12 | ИТОГО | 1 3300руб | 95% | |
Из таблицы видно, что наибольшее число процентов семейного бюджета расходуется на питание (38%), приобретение одежды (30%), на транспортные средства. Еще нагляднее это видно из диаграммы.
Вычисления:
Для того чтобы найти проценты от суммы, надо сумму умножить на 100 и разделить на 14000.
1)800*100=6% 2)500*100=4%
14000 1400
3) 300*100 = 2% 4) 5500*100 = 39%
14000 14000
5) 4000*100 = 29% 6) 500*100 = 4%
14000 14000
7) 200*100 = 1% 8) 1000*100 = 7%
14000 14000
9) 13300*100 = 95%
14000
Вывод: исследовала бюджет семьи, применила свойство нахождения процентов от числа, представила данные в виде таблицы и диаграммы.
4.2 Исследование посещения кружков, учащихся нашего класса
Помимо исследования бюджета семьи я решила исследовать посещаемость кружков, учащихся моего класса. Это мы увидим из диаграммы и таблицы.
| Волейбол | Лыжи | Туризм | хоккей | Кулинария | флорбол | Рукодель ницица | Не посещают ни каких кружков |
| 6 из 15 | 2 из15 | 3из 15 | 1 из 15 | 5 из 15 | 1 из 15 | 5 из 15 | 6 из 15 |
| 40% | 13% | 20% | 6% | 33% | 6% | 33% | 40% |
Из диаграммы видно, что большая часть учащихся (6 человек) – 40% посещают волейбол.
33% (5человек) посещают – кулинарию и мастерицу.
20% (3 человека) – туризм.
13% (2 человека) – лыжную
6% (1 человек) – хоккей и флорбол.
При вычислении я применяла свойство нахождения процентов от числа.
Для того чтобы найти, сколько процентов составляет посещаемость кружков, надо количество человек, посещающих тот или иной кружок умножить на 100 и разделить на 15 (количество человек в классе).
1) 6*100 = 40% (волейбол и не посещают кружков вообще)
15
2) 2*100 = 13% (лыжная)
15
3) 3*100 = 20% (туризм)
15
4) 1*100 = 6% (хоккей и флорбол)