Построение математических моделей (стр. 4 из 5)
Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений.
3. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
коэффициент детерминации:
67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как Fрасч. = 7,375 > Fтабл. = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.
Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ.
Таблица 11
Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации
| y | x1 | x2 | yрасч. | y-yрасч | А |
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 2,97 | 0,03 | 0,010 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 2,97 | -0,07 | 0,024 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 2,85 | 0,15 | 0,050 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 3,08 | 0,02 | 0,007 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 3,08 | 0,12 | 0,038 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 3,20 | -0,40 | 0,142 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 2,96 | -0,06 | 0,022 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 3,31 | 0,09 | 0,027 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 3,43 | 0,07 | 0,019 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 3,55 | 0,05 | 0,014 |
| 0,353 |
среднюю относительную ошибку аппроксимации
В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
4. Построить степенную модель множественной регрессии
Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства
lg y = lg a + β1 ∙ lg x1 + β2 ∙ lg x2.
Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X1 = lg x1, X2 = lg x2.
Тогда Y = A + β1 ∙ X1 + β2 ∙ X2 – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.
Расчеты представлены в таблице 12.
Таблица 12
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии
| y | x1 | x2 | lg x1 | lg x2 | lg y | lg2 x1 | lg x1* lg x2 | lg y*lg x1 | lg2 x2 | lg y* lg x2 |
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 0,041 | -0,398 | 0,477 | 0,002 | -0,016 | 0,020 | 0,158 | -0,190 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 0,041 | -0,398 | 0,462 | 0,002 | -0,016 | 0,019 | 0,158 | -0,184 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 0,079 | -0,155 | 0,477 | 0,006 | -0,012 | 0,038 | 0,024 | -0,074 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 0,146 | -0,046 | 0,491 | 0,021 | -0,007 | 0,072 | 0,002 | -0,022 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 0,146 | -0,046 | 0,505 | 0,021 | -0,007 | 0,074 | 0,002 | -0,023 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 0,146 | -0,097 | 0,447 | 0,021 | -0,014 | 0,065 | 0,009 | -0,043 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 0,114 | -0,097 | 0,462 | 0,013 | -0,011 | 0,053 | 0,009 | -0,045 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 0,204 | 0,041 | 0,531 | 0,042 | 0,008 | 0,108 | 0,002 | 0,022 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 0,114 | -0,398 | 0,544 | 0,013 | -0,045 | 0,062 | 0,158 | -0,217 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 0,146 | -0,301 | 0,556 | 0,021 | -0,044 | 0,081 | 0,091 | -0,167 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 1,178 | -1,894 | 4,955 | 0,163 | -0,165 | 0,592 | 0,614 | -0,943 |
Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.
Степенная модель множественной регрессии имеет вид:
В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.
Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.
5. РАССЧИТАЕМ:
коэффициент множественной корреляции:
Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.
Таблица 13
Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии
| Y | X1 | X2 | Y расч. | (Y-Yрасч.)2 | (Y-Yср)2 | A |
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 2,978 | 0,000 | 0,020 | 0,007 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 2,978 | 0,006 | 0,058 | 0,027 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 2,838 | 0,026 | 0,020 | 0,054 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 3,079 | 0,000 | 0,002 | 0,007 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 3,079 | 0,015 | 0,004 | 0,038 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 3,162 | 0,131 | 0,116 | 0,129 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 2,959 | 0,003 | 0,058 | 0,020 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 3,317 | 0,007 | 0,068 | 0,024 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 3,460 | 0,002 | 0,130 | 0,012 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 3,516 | 0,007 | 0,212 | 0,023 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 0,198 | 0,684 | 0,342 |
коэффициент детерминации:
71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2, числе степеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как Fрасч. = 8,592 > Fтабл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.
среднюю относительную ошибку аппроксимации
В среднем в степенной модели расчетные значения отличаются от фактических на 3,42 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
6. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (табл. 14)
Таблица 14
| Параметры | Модель | |
| линейная | степенная | |
 |  | |
| Коэффициент множественной корреляции | 0,8235 | 0,8429 |
| Коэффициент детерминации | 0,6782 | 0,7106 |
| F – критерий Фишера | 7,375 | 8,592 |
| Средняя относительная ошибка аппроксимации, % | 3,53 | 3,42 |
В целом модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но лучшей считается степенная модель, т.к значение коэффициента корреляции, индекса детерминации, F – критерия Фишера немного больше, а средняя относительная ошибка аппроксимации немного меньше, чем у линейной модели.