Построение математических моделей (стр. 3 из 5)
Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
11. СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у
(выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10 % по сравнению с последним годом.
Лучшей является линейная модель вида
Сначала найдем прогнозные значения показателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложений составил 1,4 млн. руб. Следовательно, в 2008 году он составит – 1,4 ∙ 1,1 = 1,54 млн. руб., а в 2009 году - 1,54 ∙ 1,1 = 1,69 млн. руб.
Подставим прогнозные значения х в уравнение регрессии
Это будут точечные прогнозы результата у (выручка предприятия).
В 2008 году выручка предприятия составит: 2,028+0,843*1,54 = 3,33 (млн. руб.)
В 2009 году: 2,028+0,843*1,69 = 3,46 (млн. руб.)
Рис. 6
Задание 2
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х1, млн. руб.) и основных производственных фондов (х2, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 8)
Таблица 8
| Время, t | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
| Выручка, у | 3,0 | 2,9 | 3,0 | 3,1 | 3,2 | 2,8 | 2,9 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
| Объем капитало- вложений, х1 | 1,1 | 1,1 | 1,2 | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,3 | 1,6 | 1,3 | 1,4 |
| Основные производственные фонды, х2 | 0,4 | 0,4 | 0,7 | 0,9 | 0,9 | 0,8 | 0,8 | 1,1 | 0,4 | 0,5 |
1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х1 и х2. Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.
2. Построить линейную модель множественной регрессии
; дать экономическую интерпретацию параметров b1 и b2.3. Построить степенную модель множественной регрессии
; дать экономическую интерпретацию параметров β1 и β2.4. Для каждой из моделей:
- найти коэффициент множественной корреляции;
- найти коэффициент детерминации;
- проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
- найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель.
6. Пояснить экономический смысл всех рассчитанных характеристик.
7. Найти частные коэффициенты эластичности и β – коэффициенты.
8. По линейной модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х1 (объема капиталовложений) и х2 (основных производственных фондов).
РЕШЕНИЕ:
1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:
Необходимые расчеты представлены в таблице 9.
-связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х1 слабая и прямая;
-связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х2 практически нет;
-связь между объемом капиталовложений Х1 и основными производственными фондами Х2 тесная и прямая;
Таблица 9
Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций
| t | Y | X1 | X2 | (y-yср)2 | (х1-х1ср)2 | (x2-x2ср)2 | (y-yср)* (x1-x1ср) | (y-yср)* (x2-x2ср) | (х1-х1ср)* (x2-x2ср) |
| 1998 | 3,0 | 1,1 | 0,4 | 0,0196 | 0,0484 | 0,0841 | 0,0308 | 0,0406 | 0,0638 |
| 1999 | 2,9 | 1,1 | 0,4 | 0,0576 | 0,0484 | 0,0841 | 0,0528 | 0,0696 | 0,0638 |
| 2000 | 3,0 | 1,2 | 0,7 | 0,0196 | 0,0144 | 1E-04 | 0,0168 | -0,0014 | -0,0012 |
| 2001 | 3,1 | 1,4 | 0,9 | 0,0016 | 0,0064 | 0,0441 | -0,0032 | -0,0084 | 0,0168 |
| 2002 | 3,2 | 1,4 | 0,9 | 0,0036 | 0,0064 | 0,0441 | 0,0048 | 0,0126 | 0,0168 |
| 2003 | 2,8 | 1,4 | 0,8 | 0,1156 | 0,0064 | 0,0121 | -0,0272 | -0,0374 | 0,0088 |
| 2004 | 2,9 | 1,3 | 0,8 | 0,0576 | 0,0004 | 0,0121 | 0,0048 | -0,0264 | -0,0022 |
| 2005 | 3,4 | 1,6 | 1,1 | 0,0676 | 0,0784 | 0,1681 | 0,0728 | 0,1066 | 0,1148 |
| 2006 | 3,5 | 1,3 | 0,4 | 0,1296 | 0,0004 | 0,0841 | -0,0072 | -0,1044 | 0,0058 |
| 2007 | 3,6 | 1,4 | 0,5 | 0,2116 | 0,0064 | 0,0361 | 0,0368 | -0,0874 | -0,0152 |
| Σ | 31,4 | 13,2 | 6,9 | 0,684 | 0,216 | 0,569 | 0,182 | -0,036 | 0,272 |
| Средн. | 3,14 | 1,32 | 0,69 |
Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.
Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:
| Y | X1 | X2 | |
| Y | 1 | ||
| X1 | 0,4735 | 1 | |
| X2 | -0,0577 | 0,7759 | 1 |
Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х1, а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.
2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.
Расчеты представлены в таблице 10.
Решим систему уравнений, используя метод Крамера:
Таблица 10
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии
| y | x1 | x2 | x12 | x1*x2 | x22 | y*x1 | y*x2 |
| 3,0 | 1,1 | 0,4 | 1,21 | 0,44 | 0,16 | 3,3 | 1,2 |
| 2,9 | 1,1 | 0,4 | 1,21 | 0,44 | 0,16 | 3,19 | 1,16 |
| 3,0 | 1,2 | 0,7 | 1,44 | 0,84 | 0,49 | 3,6 | 2,1 |
| 3,1 | 1,4 | 0,9 | 1,96 | 1,26 | 0,81 | 4,34 | 2,79 |
| 3,2 | 1,4 | 0,9 | 1,96 | 1,26 | 0,81 | 4,48 | 2,88 |
| 2,8 | 1,4 | 0,8 | 1,96 | 1,12 | 0,64 | 3,92 | 2,24 |
| 2,9 | 1,3 | 0,8 | 1,69 | 1,04 | 0,64 | 3,77 | 2,32 |
| 3,4 | 1,6 | 1,1 | 2,56 | 1,76 | 1,21 | 5,44 | 3,74 |
| 3,5 | 1,3 | 0,4 | 1,69 | 0,52 | 0,16 | 4,55 | 1,4 |
| 3,6 | 1,4 | 0,5 | 1,96 | 0,7 | 0,25 | 5,04 | 1,8 |
| 31,4 | 13,2 | 6,9 | 17,64 | 9,38 | 5,33 | 41,63 | 21,63 |
Линейная модель множественной регрессии имеет вид:
Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб. при неизменных размерах основных производственных фондов.