Операторы проектирования (стр. 4 из 4)

Рассмотрим также элементы y = (y

, …, y , …), у которых y произвольные при четных n, и y = 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство в l

, и при этом это подпространство является ортогональным дополнением к X, так как их скалярное произведение равно 0. Следовательно, по Т3. X дополняемо в H с помощью X .

2) L

(0,1).

Пусть X – подпространство L

(0,1), состоящее из тех функций L (0,1), которые обращаются в 0 на интервале (0, а].

Пусть Y – подпространство L

(0,1), состоящее из тех функций L (0,1), которые в ноль не обращаются на интервале [a, 1).

Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L

(0,1) с помощью Y.

Часть III. Задача о дополняемости.

Пусть С

[0, 2p] - множество непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p].

Пусть Е – множество четных чисел и пусть

С

= {f(x)Î С : (n) = 0 "nÏE}.

Требуется доказать, что С

дополняемо в С [0, 2p].

Доказательство:

Чтобы доказать требуемое, необходимо найти такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С

[0, 2p] на С (Т1.), таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах, отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.

Рассмотрим оператор P =

(t +I), где t - оператор сдвига на p, а I - тождественное отображение.

t

ограничен, так как мы имеем дело с 2p периодическими функциями, так как

= = 1 , то есть С = 1.

А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1).

I - тоже непрерывен.

Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении.

1) n = 2k-1, где к – целое.

(( )(2k-1)+( )(2k-1)) =

=

(e (2k-1)+ (2k-1)) = (2k-1)( e +1). (*)

Так как e

=cos j+isin j, значит e = cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p).

При любом k – целом выражение cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.

2) n=2k, где k – целое.

(( )(2k)+( )(2k)) = (e (2k)+ (2k)) =

=

(2k)( e +1). (**)

При любом k – целом выражение cos (2kp)+isin(2kp) = 1, а следовательно и выражение (**) не изменяет своего значения, то есть равно

(2k). Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при таком отображении не изменяются, то есть оператор Р действительно является проектором.

Таким образом, нашелся такой непрерывный проектор P: С

[0, 2p]® С , следовательно С дополняемо в С [0, 2p].

Литература.

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.

2. Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975.

3. Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.