Операторы проектирования (стр. 3 из 4)

Qt

e = e Qe . (5).

Из (4) и (5) следует, что

(Qe

)(x-s) = e (Qe )(x). (6).

Пусть С

= (Qe )(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид

Qe

= C e . (7).

Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н

. Так как Qe принадлежит H для любого n, то из (7) следует, что

С

= 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H , то С = 1 при любом n³0.

Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:

Q(

e )= e . (8).

Рассмотрим функцию f

(x) = e , (0<r<1), (9).

которая представляет собой ядро Пуассона:

, в частности f >0. Поэтому

= dx = dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf )(x) = e = (11).

Так как

dx = ¥, то из леммы Фату следует, что ® ¥, при

r ® 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.

Таким образом, доказано, что H

недополняемо в L .

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.

Гильбертово пространство.

Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:

а) (y,x)=

, "x, yÎH;

b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), "x, y, zÎH;

c) (ax,y)=a(x,y), "x, yÎH, "aÎC;

d) (x,x)³0, "xÎH;

e) (x,x)=0 Û x=0, "xÎH;

Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение x^y).

Если Е подмножество Н, F подмножество H, то Е^F обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.

Через Е

обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.

Нормой в пространстве Н называется число

.

Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.

Примеры гильбертовых пространств.

1) l

- комплексное гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) =

;

2) L

(0,1) - гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определено формулой

(f, g) =

dx.

Теорема3:

М – замкнутое подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М

(Н=МÅМ , М - ортогональное дополнение к М).

Доказательство:

Если Е подмножество Н, то из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е

является подпространством в Н. Допустим, что элементы g принадлежат Е и сходятся к g. Тогда для любого f из E

(g, f) =

= 0, и потому g тоже входит в Е , значит Е - замкнутое подпространство.

(1) Если х принадлежит М и х принадлежит М

, то (х, х) = 0, а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно МÇМ ={0}.

(2) Пусть х принадлежит Н.

Рассмотрим множество х-М = {х-х

: х ÎМ}, причем х такой, что он минимизирует величину . Пусть х = х-х , следовательно, £ для любых y из М, значит, х принадлежит М , поэтому для любого х из Н х можно представить в виде х = х +х , где х из М и х из М .

Из (1) и (2) следует, что Н представимо в виде прямой суммы М и М

Н=МÅМ , следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.

Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.

1) в l

рассмотрим элементы x = (x

, …,x , …), у которых x = 0 при четных n и x произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l

замкнутое подпространство. Назовем его X.