Элементарное доказательство великой теоремы Ферма (стр. 3 из 3)
Вычтем из (25) уравнение (24). В результате получаем 6 (В - С - 1) + 9 + 12s = 0 или
< 0, т.к из уравнений (20) следует, что целое число В > С + 1. Но при этом модуль s оказывается больше единицы. Уравнения (24) и (25) дают одинаковые значения s только в случае s1 = s = 0. При этом ρ = 0 и В1 = В.Таким образом, значение s дробной части числа b равно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с, равная g = - ρ + s, также равна нулю, т.е. b и c являются целыми числами. Но при целых числах b и c из уравнений (22) следует, что x = (x1) 2 и y = (y1) 2, так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значениях q ³ 3 будет целым числом.
Это означает, что для нахождения целочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q ³ 3 и четном значении z и z1 достаточно найти целочисленные решения уравнения Пифагора
[ (х1) q] 2 + [ (y1) q] 2 = [ (z1) q] 2. (26)
Но как показано в замечании к лемме 1 уравнение (26) при четном значении z и (z1) q не может иметь целочисленных решений. Следовательно, уравнение (1) при нечетном значении n = q ³ 3 и четном значении z также не имеет целочисленных решений. Поэтому далее достаточно доказать, что целочисленных решений не имеет также и уравнение (14).
Доказательство великой теоремы ферма. Уравнения (1) и (14) полностью эквивалентны, т.е. либо не существует целочисленных решений у обоих уравнений, либо целочисленные решения одновременно имеют уравнения (1) и (14). Покажем, что уравнения (14) не имеет целочисленных решений, а, следовательно, не имеет целочисленных решений также уравнение (1).
Доказательство проведем от противного. Предположим, что уравнения (14) и (1) имеют целочисленные решения. Без ограничения общности доказательства можно считать четным число х. Выберем среди всех примитивных решений уравнения (14) некоторую тройку чисел (x1, y1, z1) с минимальным значением z1. Соответствующее решение уравнения (1) будет иметь вид x = (x1) 2, y = (y1) 2 и z = (z1) 2, где значение z = (z1) 2 является минимальным для всех решений уравнения (1). Согласно лемме 1 любое решение уравнения (14) при четном значении x1 описывается формулами (3), т.е.
(х1) q = 2mn, (27)
(z1) q = m2 + n2, (28)
(y1) q = m2- n2, (29)
где m и n - взаимно простые числа разной четности.
A. Рассмотрим сначала случай, когда четным является число n = 2р. Тогда (х1) q = 4mр. Поскольку числа m и 4р взаимно просты, то отсюда согласно лемме 2 вытекает, что m = (z2) q, 4р = t q, где z2 и t - некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительные числа. В частности из уравнения (29) получаем (y1) q = (z2) q - [ (t/21/q) 2] q или с учетом того, что целочисленные решения этого уравнения имеют вид y1 = [ (y3)] 2 и z2 = (z3) 2, получаем уравнение
[ (y3) q] 2 + (t q/2) 2 = [ (z3) q] 2.
В силу выбора решения (x1, y1, z1) с минимальным значением z1 должно иметь место неравенство z2 ³ z1, а потому и неравенство (z2) q ³ (z1) q. В результате получаем абсурдное неравенство m ³ m2 + n2.
B. Рассмотрим теперь случай, когда в уравнениях (27) - (29) четным является число m = 2k, а нечетным число n. Поскольку числа 4k и n взаимно просты, из уравнения (27) согласно лемме 2 вытекает, что 4k = (z2) q и n = t q. где z2 и t - некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительные числа. Тогда из уравнения (29) получаем (y1) q = [ (z2) 2/22/q] q - [ (t) 2] q или
(y1) q + [ (t) 2] q= [ (z2) 2/22/q] q. (30)
Поскольку целочисленными решениями этого уравнения являются только квадраты некоторых целых чисел, то y1 = (y2) 2. Тогда уравнение (30) может быть записано в виде [ (y2) q] 2 + [ (t) q] 2= [ (z2) q/2] 2. Согласно лемме 2 существуют такие положительные взаимно простые числа а и b различной четности, что (t) q = 2ab, (y2) q = a2- b2, (z2) q/2 = a2+ b2. Поскольку z2 является нечетным числом, то (z2) q /2 не может быть целым числом, так как (z2) q также будет нечетным числом, т.е. последнее целочисленное равенство не может иметь место. Это означает, что целочисленных решений уравнений (1) и (14) при четном числе m = 2k также не существует.
Заметим, что в этом случае из неравенства z2 > z1 или (z2) q > (z1) q также получается абсурдное неравенство 2m > m2 + n2 (случай равенства правой и левой частей при m = 1 и n = 1 не должен рассматриваться, так как при этом не будет выполняться уравнение (27)).
Оба случая А и В привели к абсурдным неравенствам. Это означает, что целочисленных решений уравнений (1) и (14) не существует. Тем самым теорема Ферма доказана элементарными методами с использованием только той математической информации, которой мог и должен был обладать Пьер Ферма 350 лет назад.
Литература
1. Постников М.М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978, 128 с.