Учитывая, что b2 = B + s и с2 = С + ρ - s, преобразуем правую часть уравнения (10):
(zy) q = (B + С + ρ) 2 - 4 (В + s) (С + ρ - s) = (B + С + ρ) 2 - 4 В (С + ρ) + 4s (В - С - ρ) + 4s2
или
Е = (zy) q + 4В (С + ρ) - (B + С + ρ) 2 = 4sN + 4s2, (11)
где N = (В - С - ρ) > 0, так как В > С + ρ (это следует из второго уравнения (6) с учетом того, что любые целочисленные корни уравнения (1) должны быть больше q ≥ 3 [1]). Таким образом, для величины s получаем квадратичное уравнение
s2 + s (В - С - ρ) - 0,25Е = 0, (12)
где величина Е ≤ 0, так как правая часть уравнения (11) отрицательна при s < 0 (поскольку целое положительное число N > |s| и ρ = - 1) или равна нулю при s = 0.
Для положительного значения s1 = (1 + s) получаем также уравнение (12), но со значением ρ = 1 и (В - 1) вместо В, т.е.
(1 + s) 2 + (1 + s) (В - 1 - С - 1) - 0,25 [ (zy) q + 4 (В - 1) (С + 1) - (B - 1 + С + 1) 2]
или
s2 + 2s + 1 + s (В - С - 2) - 0,25 [ (zy) q + 4 (В - 1) (С + 1) - (B + С) 2] = 0. (13)
Вычтем из уравнения (13) уравнение (12) при ρ = - 1. В результате получим
s - [ (В - 1) (С + 1) - 0,25 (B + С) 2] + [В (С - 1) - 0,25 (B + С - 1) 2] + 1= 0
или s = - 0,5 (В - С) - 0,75 < 0.
Но модуль s оказывается больше единицы, поскольку В > C. Уравнения (12) и (13) дают одинаковые значения s только в случае s1 = s = 0. При этом ρ = 0 и В1 = В.
Таким образом, значение s дробной части числа b равно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с, равная g = - ρ + s, также равна нулю, т.е. b и c являются целыми числами. Но при целых числах b и c из уравнений (6) следует, что y = (y1) 2 и z = (z1) 2, так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значениях q ³ 3 и взаимно простых числах x, y и z будет целым числом.
Аналогичным образом можно показать, что х также является квадратом некоторого целого числа х1. Из уравнения (4) можно получить уравнение x2q = [ (z) q/2xq/2] 2 - [ (x) q/2yq/2] 2. Обозначим xq/2zq/2- xq/2yq/2 = 2с2 и xq/2zq/2 + xq/2yq/2 = 2b2, где аналогично случаю, рассмотренному выше, можно показать, что с2 и b2 могут быть только целыми числа. Из двух последних уравнений получаем xq/2zq/2 = (b2 + с2) и xq/2yq/2 = (b2 - с2). При целых числах с2, b2, zq/2 и yq/2 левая часть этих уравнений будет целым числом только в случае x = (x1) 2.
Это означает, что для нахождения целочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q ³ 3 и четном значении x или y достаточно найти целочисленные решения уравнения Пифагора
[ (х1) q] 2 + [ (y1) q] 2 = [ (z1) q] 2. (14)
В). Рассмотрим теперь случай четного значения числа z и нечетных значений х и y. Умножим уравнение (1) при n = q ³ 3 на z q и запишем его в виде (xz) q = z2q - (yz) q. Обозначим (zх) q = 2a, (z) q + (zy) q/2 = 2b и (z) q - (zy) q/2 = 2с. Тогда правая часть уравнения (xz) q = z2q - (yz) q равняется (4bc), а левая часть (2а), т.е.
а = 2bc. (15)
Заметим далее, что имеют место также следующие соотношения:
b + c = (z) q, b - c = (zy) q/2, (16)
(b + c) 2 = (z) 2q, (b - c) 2 = (zy) q. (17)
Из уравнений (17) следует, что
(z) 2q + (zy) q = (b + c) 2 + (b - c) 2 = (b2 + c2 + 2bc) + (b2 + c2 - 2bc) = 2 (b2 + c2) (18)
Предположим, что b2 и c2 не являются целыми числами. Запишем их в виде b2 = B + s и с2 = С + g, где B и C - целые части чисел b и c, а |s| < 1 и |g| < 1 - их дробные части. Тогда из уравнения (18) получаем
(z) 2q + (zy) q = 2 (B + C + s + g) (19)
Так как левая часть уравнения (19) является целым четным числом, то (B + C + s + g) также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s).
Из уравнения (z) q + (zy) q/2 = 2b следует, что значение b > 1, так как z > y > 1. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В1 + s1) с положительным значением дробной части s1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В1 + 1 - 1 + s1) = (В + s), где В = В1 + 1 - это целая часть числа b, а s = (s1 - 1) - дробная часть числа b. Поскольку s1< 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b. При s = 0 можно считать, что s1 = 0 и В1 = В.
Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s) со значением s < 0. При этом значение ρ = - 1. Рассмотрим произведение
(z2q) (zy) q = (b + c) 2 (b - c) 2 = b2 + c2 + 2bc) (b2 + c2 - 2bc) = (b2 + c2) 2 - 4b2c2,
и повторим полностью описанную после уравнения (10) процедуру доказательства, приведенного выше. В результате из второго уравнений (16) можно получить, что z = (z1) 2 и y = (y1) 2, где z1 и y1 - некоторые целые числа. Только в этом случае правая часть этого уравнения при взаимно простых числах z и y будет целым числом. Может показаться, что числа z и y могут также иметь иной вид: z = (z1) 2R и y = (y1) 2E при условии, что целые числа R и E являются взаимно простыми, а их произведение RE является квадратом некоторого целого числа F. Но согласно лемме 2 из уравнения RE = F 2 следует, что взаимно простые числа R и E должны быть квадратами некоторых целых чисел Q и D, а это означает, что z и y и в этом случае представимы в виде квадратов целых чисел z = (Qz1) 2 и y = (Dy1) 2.
Покажем далее, что число x также представимо в виде x = (x1) 2, где x1 является некоторым целым числом. Для этого рассмотрим уравнение (1) при n = q ³ 3 и четном значении z. Обозначим
zq/2 = 2a, xq/2 + y q/2 = 2b, xq/2 - y q/2 = 2c. (20)
Из уравнений (20) можно получить следующие равенства:
а = 2bc. (21)
b + c = (x) q/2, b - c = (y) q/2, (22)
(b + c) 2 = (x) q, (b - c) 2 = (y) q. (23)
Из уравнения (1) при n = q ³ 3 получаем xq + y q = b2 + c2 = zq. Предположим, что b2 и c2 не являются целыми числами. Запишем их в виде b2 = B + s и с2 = С + g, где B и C - целые части чисел b и c, а |s| < 1 и |g| < 1 - их дробные части. Поскольку zq является целым числом, то и b2 + c2 = B + s + С + g также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s).
Из второго уравнения (20) следует, что значение b > 1, так как x и y больше q ³ 3 [1]. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В1 + s1) с положительным значением дробной части s1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В1 + 1 - 1 + s1) = (В + s), где В = В1 + 1 - это целая часть числа b, а s = (s1 - 1) - дробная часть числа b. Поскольку s1 < 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b. При s = 0 можно считать, что s1 = 0 и В1 = В.
Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s) со значением s < 0. При этом значение ρ = - 1. Для этого представления числа b запишем (y) q в виде
(y) q = (b - c) 2 = b2 + с2 - 2bc = (В + s - С - 1 + s) 2 - 2bc. (24)
Далее представим b в виде b = (В1 + s1), где s1 > 0, а ρ = 1. Тогда значение (y) q можно записать в виде
(y) q = = (В1 + s1 - С + 1 + s1) 2 - 2bc = (В - 1 + s + 1 - С + 1 + s + 1) 2 - 2bc = (В - С + 2 + 2s) 2 - 2bc. (25)