
,

,

Если

, то предыдущие равенства равносильны

. Перепишем

, где

(т.е.

не зависит от

). Тогда из равенства

следует эквивалентное равенство

, сравнивая коэффициенты при

, последнее влечет за собой

, i=1,2,..,n и ,следовательно,

. Положим

. Тогда предыдущее равенство можно переписать в виде:

,

*

.
Сравнивая коэффициенты при

, получим, что

,

,

. Получим

,

или

,

,

. Покажем, что существование таких матриц

влечет за собой, что n=2,4,8.

-кососимметричная и невырожденная. Значит n-четное число. В частности

Породим этими матрицами подалгебру

Матрица вида

, где

является системой K . Их число равно

. Покажем, что, по меньшей мере,

из них линейно независимы. Для этого сначала заметим, что

,

удовлетворяет

=
=

В частности М - симметричная тогда и только тогда, когда

, либо

. Если существует соотношение

, где

-слева от

, то можно считать, что все

и все собственные подмножества

являются линейно независимыми. Тогда, умножая на

, получим соотношение вида:

. При этом все

являются симметричными (ввиду линейной независимости

).
Пусть

вовлекает наименьшее число факторов r . Тогда

.
Если

и

, то выберем

и умножим левую и правые части на

. Получим, что

. Т.к.

-кососимметричная, а

-симметричная, то получили противоречие.
Если

, то умножим обе части на

. Получим, что

, где

( их количество 4e-1) – симметричная матрица, а слева кососимметричная матрица. Противоречие. Следовательно,

и

, и как показывают рассуждения выше, либо

, либо

. Если

, то, умножая на

, получим, что

(их число n-2=4e-1) – симметричная. Противоречие. следовательно

. В частности, если

и

, то получаем противоречие, т.е.

. Пусть

. Докажем, что

- линейно независимы. Их число равно

. Действительно, если между ними есть линейно зависимые, то получим, что

, где длина

,

Длина

Т.е. мы не получили

. Противоречие.
Итак,

и

. Это возможно при

. Если n<10, то при n=2,4,8 теорема верна. Далее n-четное число. Осталось понять, что при n=6 кососимметричные матрицы из

линейно независимы.

в

.
С другой стороны, среди

, где

(их число равно 32) количество кососимметричных равно

. Т.к.

, то все эти матрицы

линейно независимы. В частности и эти линейно независимы

. С другой стороны их число меньше 15. Противоречие. (Можно сослаться что

, 6-не подходит).