Степенные ряды (стр. 1 из 2)

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Степенные ряды

Содержание

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

2. Свойства степенных рядов

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

5. Приложения степенных рядов

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

.(1.1)

Здесь

– постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При

степенной ряд (1.1) принимает вид

. (1.2)

Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности

, ряд (1.2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки

приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд (1.2) сходится при

, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству

; если же ряд (1.2) расходится при

, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству

.

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:

1)

; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или

.

Число R называется радиусом сходимости, интервал

– интервалом сходимости степенного ряда (1.2).

Если

, то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если

, то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание: если

– интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости

, т. е. при и .

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

;(1.3)

формула Коши:

.(1.4)

Если в формуле Коши

, то полагают , если , то полагают .

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда

.

Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

В нашем случае

, .

Тогда

.

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При

степенной ряд превращается в числовой ряд

.

который расходится как гармонический ряд.

При

степенной ряд превращается в числовой ряд

.

Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и

. Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток

– область сходимости данного степенного ряда.

2. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию

, определенную в интервале сходимости , т. е.

.

Приведем несколько свойств функции

.

Свойство 1. Функция

является непрерывной на любом отрезке

, принадлежащем интервалу сходимости

.

Свойство 2. Функция

дифференцируема на интервале

, и ее производная

может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

,

для всех

.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции

для всех

может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

для всех

.

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала

может измениться.

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).

Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд

.

Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток

.

Почленно продифференцируем этот ряд: