Степенные ряды (стр. 2 из 2)
.(2.1)По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал
.Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при
и при 
.При
степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд 
.Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости
: 
, который не существует.При
степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд 
,который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом
. 3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
Пусть
– дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки 
, т. е. имеет производные любых порядков.Определение 3.1. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд
. (3.1)В частном случае при
ряд (3.1) называется рядом Маклорена: 
. (3.2)Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки
совпадает с функцией ?Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна .
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции 
к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале 
функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. 
, то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1.
. Для этой функции 
, 
.По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
. (3.3)Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
.Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении
.Все производные функции
на любом отрезке 
ограничены, т. е. 
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.4)2.
. Для этой функции 
, 
, 
.Отсюда следует, что при
производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
.При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
.Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.5)3.
. Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции 
и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем    . | (3.6) |
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом
.Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
4.
– биномиальный ряд ( 
– любое действительное число).Если
– положительное целое число, то получаем бином Ньютона: 
. 
– логарифмический ряд. 
. 5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:
; 
; 
; 
; 
; 
.Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
 |